Задача 1. Стоимость набора из 25 основных продуктов питания в расчете на месяц на одного человека, по данным Госкомстата России в I квартале 1999 г., характеризуется следующими темпами прироста стоимости к предыдущему месяцу, %:

январь + 6,3

февраль + 3,6

март + 2,9

Определить:

1) базисные темпы роста стоимости продуктового набора в марте к декабрю 1998 г.;

2) среднемесячный темп прироста стоимости продуктового набора с января по март.

Решение.

Расчет базисных темпов роса покажем в таблице

Темпы роста стоимости продуктового набора в I квартале 1999 г.

месяц	Темпы роста к предыдущему месяцу (цепные), %	Базисные коэффициенты роста (к декабрю)
январь февраль март	106,3 (+3,6) 103,6 (109,9) 102,9 (113,8)	1,063 1,063*1,036=1,101 1,101*1,029=1,133

1. Базисный темп роста стоимости продуктового набора в марте 1999 г. к декабрю 1998 г. равен 113,3%, т.е. а темп прироста равен 13,3%, (1,133*100-100).

2. Среднемесячный темп прироста стоимости продуктового набора с января по март:

Следовательно среднемесячный темп прироста стоимости продуктового набора с января по март составил 4,3% (1,043*100-100).

Задача 2. Темпы прироста (снижения) промышленного производства отрасли (в сопоставимых ценах) характеризуются показателями, %

2003. +5

2004. +4

2005. -12

2006. -18

2007. -30

Вычислить:

1. цепные (годовые) темпы роста и прироста:

2. среднегодовые темпы роста и прироста с 2001 по 2005 гг.

Решение.

1. Расчет цепных (годовых) темпов роста и прироста показан в табл. 7.6

2. Динамика промышленного производства отрасли

Показатель	2003	2004	2005	2006	2007
Темпы роста (сокращения) к 2002 г.,%	105	104	88	82	70
Коэффициент роста (к предыдущему году)	1,05	1,04/1,05 =0,99	0,88/1,04 =0,85	0,82/0,88 =0,93	0,70/82 =0,85
Темпы роста (цепные),%	105	99	85	93	85
Темпы прироста (годовые), %	+5	-1	-15	-7	-15

3. Среднегодовой темп роста (снижения) с 2003 по 2007 гг. составил:

Следовательно, среднегодовой темп сокращения промышленности производства в отрасли составил 6,8%, т.е. 93,2 – 100.

Задача 3. Остатки вкладов в сберегательных банках района за первый квартал характеризуются следующими данными, представленными в табл.

Остатки вкладов в сберегательных банках на начало месяца,млн. руб.

Номер сбербанка	1.1	1.2	1.3	1.4
1	4	7	8	8
2	10	12	9	14

Определить среднемесячные остатки вкладов за квартал по каждому сбербанку и по двум вместе.

Решение:

1. Среднемесячные остатки вкладов по каждому сбербанку исчисляем по средней хронологической для моментного ряда согласно формуле:

Ŷ=y1/2+y2+y3+…+yn-1+yn/2

n-1

Сбербанк №1: Ŷ1=4/2+7+8+8/2

4-1 =7

Сбербанк №2: Ŷ1=10/2+12+9+14/2

1. =11

2.Среднемесячные остатки вкладов по 2 сбербанкам вместе, млн.руб.

Ŷ= Ŷ1+ Ŷ2=7+11=18 Или

Ŷ=14/2+19+17+22/2

4-1 =18.

Задача 4.

Маємо дані про реаліз. прод. промисл. підпр.

Розподіл підпр. за рівнем реаліз. прод., тис. грн.

№ підпр.	Факт. за 1 кв.(Убаз)	2 кв.
		план (Упл)	факт(Уфакт)
1	8500	8650	8720
2	7540	7650	7700
3	9900	10400	10670
4	5900	6000	5950
Всего	31840	32700	33040

Розрах. у % стат. показ., що характер. план. завд., вик. плану і динаміку реаліз. прод. по кожн. підпр. та по об’єднанню. Перевір. взаємозв’язок показ., укаж. види віднос. величин.

1 предпр.

ОВВП₁=Уфакт/Упл=8720/8650=1,008

ОВПЗ₁=Упл/Убаз=8650/8500=1,018

ОВД₁=Уфакт/Убаз=8720/8500=1,026

2 предпр.

ОВВП₂=7700/7650=1,007

ОВПЗ₂=7650/7540=1,015

ОВД₂=7700/7540=1,021

3 предпр.

ОВВП₃=10670/10400=1,026

ОВПЗ₃=104--/9900=1,051

ОВД₃=10670/9900=1,078

4 предпр.

ОВВП₄=5950/6000=0,992 ОВПЗ₄=6000/5900=1,017

ОВД₄=5950/5900=1,008

За год по всем предпр. Проверка:

ОВВП=33040/32700=1,01 ОВД=ОВВП*ОВПЗ

ОВПЗ=32700/31840=1,027 1,01*1,027=1,037

ОВД=33040/31840=1,038

Вывод: т.о. во 2 кв. план по увелич. реал. прод. фирмы перевыполн. на 1%, в этом же пер-де по сравн. с 1 кв. объем реал. прод. фирм увелич. на 3,8%, а фирмами было поставл. задание увел. реал. прод. на 2,7%.

Задача 5.

Маємо дані про трудомісткість прод. на заводах

Витрати часу на випуск прод. на заводах галузі

№	Витрати часу на од. прод., год. (x)	Витр. часу на всю прод., год. (M=f*x)
1	45	2250
2	52	3200
3	60	1800
4	58	6380

Визначте сер. витрати часу на од. прод. по галузі.

= = =54,19

Исп. среднегармонич. взвеш., т.к. имеем варианту х и М.

Завдання 6

Маємо дані про робітників за рівнем заробітної плати в таблиці:

Групування робітників за розміром зарплати	Число робітників
До 430	35
430 – 550	92
550 – 670	123
670 – 790	102
Понад 790	48
Всього	400

Визначити середній розмір зарплати звичайним способом і способом «моментів», а також моду і медіану. Порівняйте отримані дані.

Визначте середнє лінійне відхилення, дисперсію та квадратичне відхилення двома способами, коефіцієнт варіацій. Побудуйте полігон і гістограму розподілу робітників. Зробіть висновки.

Розв’язання:

1)Середній розмір зарплати звичайним способом:

=

=(370*35+490*92+610*123+730*102+850*48)/400 = 620,8

Способом «моментів»:

=m₁*σ+A m₁ = ∑﴾X—A﴿/σ*f/∑f

m₁= ((370 – 610)/120*35 + (490 – 610)/120*92 + (730 – 610)/120*102 + (850-610)/120*48)/400 = 0,09

= 0,09*120+610 = 620,8

2) Знаходження моди:

М₀ = ( f_m0 - f_0-1 )/ ( f_m0 - f_m0-1 )+ ( f_m0 - f_m0+1 )*i_m0 + X_m0

M₀ = 550+120*(123 -92)/(123-92)*(123-102) = 622,94

M_e = X _me + I _me * ∑f/2- S_me-1/f_me

M _e = 550 +120*400/2 – 127 / 123 = 621,16

Висновок: дані показники свідчать про те, зарплата на відрізку є найбільш поширеною між робітниками 620,8 грн. Так, як їх середня приблизно рівна моді і медіані, тобто сукупність однорідна, симетричне розподілення.

3) Визначення середнього лінійного відхилення:

= ∑﴾x- ﴿*f / ∑f

= ( 370 – 620,8)*35 + (490 – 620,8)*92 + (730 – 620,8)*102 + (850 – 620,8)*48 = 3,3

4) Дисперсія:

σ² = ∑﴾x₁ - )² / n

σ^{2 =} ( 370 – 620,8)² + (490 – 620,8)² + ( 730 – 620,8)² + ( 850 – 620,8)² / 5 = =28893,312

5) Середнє квадратичне відхилення звичайним способом:

σ =√σ² σ=√∑﴾x - )² / n

σ = √28893,312 = 169,98

Способ зваженого середнього квадратичного відхилення:

σ = √∑ ( x - )² * f / ∑f

σ =√ (370 – 620,8)² * 35 + (490 – 620,8)² *92+(730 – 620,8)² *102+(850 – 620,8)² * 48 / 400 = 169,98

6) Коефіцієнт варіацій:

ν = σ/ * 100%

ν = 169,89 / 620,8 * 100% = 27%

Висновок: з показників видно, що робітників, які отримують середню заробітні плату більше, ніж робітників, які отримують зарплату вище, або нижчу 620,8 гнр.

Завдання 7:

Динаміка імпорту нафтопродуктів у регіон характеризується нас­тупними даними (табл. 1)

Таблиця 1. Динаміка імпорту нафтопродуктів

Рік	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Імпорт, тис. т.	32	36	39	43	48	53	57

Виходячи з цих даних:

а) опишіть тенденцію зростання імпорту нафтопродуктів лінійним трендом, поясніть зміст параметрів трендового рівняння;

б) припускаючи, що виявлена тенденція збережеться, визначте очікувані обсяги імпорту в наступному році;

Розв’язок :

Рік	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	Всього
Імпорт тис.т.	32	36	39	43	48	53	57	308
t	-3	-2	-1	0	1	2	3
tyt	-96	-72	-39	0	48	106	171	118
Yt	31,4	35,6	39,8	44	48,2	52,4	56,6	308
yt – Yt	0,6	0,4	-0,8	-1	-0,2	0,6	0,4
(yt – Yt )2	0,36	0,16	0,64	1	0,04	0,36	0,16	2,72

а)Усі розрахунки відображені в таблиці. Розрахунки проводяться наступним чином:

n = 7 ∑yt = 309 ∑t_yt = 118

∑t² = (-3)² + (-2)² + (-1)² + 3² + 2² + 1² = 28

a = y_t / n b = y_t t / t²

a = 308 / 7 = 44 b = 118 / 28 = 4,2

Y_t = a + b*t

Y₁₉₉₉ = 44 +4,2* (-3) = 31,4

Дані по наступним рокам представлені в таблиці.

б) Очікувані дані об’єму імпорту в наступних роках:

Y₂₀₀₆ = 44 + 4,2*4 = 60,8

Y₂₀₀₇ = 44 + 4,2*5 = 65

Y₂₀₀₈ = 44 + 4,2*6 = 69,2

Висновки: за даними показниками об’єм імпорту з кожним роком буде збільшуватися .

Задача 8. Остатки вкладов в сберегательных банках района за первый квартал характеризуются следующими данными, представленными в табл. 7.4

Остатки вкладов в сберегательных банках на начало месяца,млн. руб.

Номер сбербанка	1.1	1.2	1.3	1.4
1	4	7	8	8
2	10	12	9	14

Определить среднемесячные остатки вкладов за квартал по каждому сбербанку и по двум вместе.

Решение:

2. Среднемесячные остатки вкладов по каждому сбербанку исчисляем по средней хронологической для моментного ряда согласно формуле:

Ŷ=y1/2+y2+y3+…+yn-1+yn/2

n-1

Сбербанк №1: Ŷ1=4/2+7+8+8/2

4-1 =7

Сбербанк №2: Ŷ1=10/2+12+9+14/2

2. =11

2.Среднемесячные остатки вкладов по 2 сбербанкам вместе, млн.руб.

Ŷ= Ŷ1+ Ŷ2=7+11=18

Или

Ŷ=14/2+19+17+22/2

4-1 =18.

ФОРМУЛЫ

Арифметическое среднее:

Взвешенная арифметическая средняя:

Средняя арифметическая способом момента:

X=M1*d+A,

M1=∑(X-A)/2*f/∑f

Среднехрологическая (для определения средней в моментных рядах)

Мода – вариант (значение признака), к-рый чаще всего встречается в статистич. ряду распредления

Х₀ – нижняя граница модального интервала

i – шаг интервала;

f_mo – частота модального интервала

f_mo-1 – частота интервала, предшеств-го модальному

f_mo+1 – частота интервала, следующего за модальным

Медиана – вариант, расположенный в середине упорядоченного ряда распределения, т.е. делящий ряд на 2 равные части.

, S – накопл. частота

S_me – накопл. частота интервала, предшеств-го медианному; f_mе – частота медианного интервала

Ц епной абсолютный прирост: Y = Yi-Y(i-1)

Б азисный абсолютный прирост: Y=Yi-Yo

Цепной темп роста: Tp= Y(i-1)/ Yi

Базисный темп роста: Tp= Yi/Yo

Темп прироста: Tпр= Tp-1

Общий индекс физического объема: Iq=∑Q1*Po/∑Qo*Po

Общий индекс цен: Ip=∑P1*Q1/Po*Q1

Общий индекс товарооборота: Iqp=∑Q1P1/∑QoPo

Индекс сменного состава: Iсм.с=∑P1Q1/∑Q1:∑PoQo/∑Qo

Индекс фиксированного состава: Iфс=∑P1Q1/∑Q1:∑ PoQ1/∑Q1

Индекс структурных изменений: Iстр.сдв=∑ PoQ1/∑Q1: ∑QoPo/∑Qo

Iсм.с= Iфс* Iстр.сдв

1. Внутригрупповая дисперсия:

(Напр., показывает вариацию затрат на демонстрацию 1 ролики на гос. каналах, вызванную разл. факторами, кроме различия между каналами (напр., различиями в роликах 1 канала)).

2. Групповая (средняя из внутригруп.):

Хар-зует вариацию признака под влиянием всех факторов, кроме группировочного

(Напр., отражает вариацию затрат на демонстрацию 1 ролика в среднем по всей совокупности, обусловл-ю разл. факторами, кроме различий между каналами)

3. Межгрупповая:

Дисперсия способом моментов:

, где

Ряды динамики

Год	1997	1999	2000	2001	2002	2003
Произведено прод. т. грн.	500	260	325	410	510	606
Абсолютный прирост
Базисный	-	-	325-260	410-260	250	346
Цепной	-	-	325-260	410-325	100	96
Темп роста
Базисный	-	-	325/260	410/260	1,96	2,33
Цепной	-	-	325/260	410/325	1,24	1,19
Темп прироста
Базисный	-	-	0,25	0,58	0,96	1,33
Цепной	-	-	0,25	0,26	0,24	0,19

Абсолютное значение

Y= ∑y/n= 260+325+410+510+606/5= 422,2

T_p97-99 = ^n-1√y_i/y₁ = ^3-1√260/500

Индексы

Общие индексы ( p – цена, q - объём продукции, z – себистоимрсть )

• Товарооборота I_t = ∑q₁p₁/∑q₀p₀

• Цены I_ц = ∑q₁p₁/∑q₁p₀

• Себистоимости I_z = ∑q₁z₁/∑q₁z₀

• Объёма производства I_q = ∑z₀q₁/∑z₀q₀

Объём затрат на производство I_{zq =} ∑z₁q₁/∑z₀q₀ или I_затр. = I_себ. * I_об.

Индекс физического объёма V = ∑q₁p₀/∑q₀p₀ или I_T/I_ц

Индекс оборота I_об. = ∑q₁z₀/∑q₀z₀

При изменении индексов: Z₀ = Z₁/i_z

(i_z – изменение)

Индексы сменного состава:

• Средняя цена в тек. периоде P₁ = ∑p₀q₁/∑q₁

• Средняя цена в баз. периоде P₀ = ∑p₀q₀/∑q₀

• Индекс сменного состава I_CM.C. = ∑p₁q₁/∑q₁ : ∑p₀q₀/∑p₀

• Индекс фикс. состава I_ф.с. = ∑p₁q₁/∑q₁ : ∑p₀q₁/∑q₁

• Индекс структ. Изменения I_{стр. изм.} = ∑p₀q₁/∑q₁ : ∑p₀q₀/∑q₀

Проверка: I_см.с. = I_ф.с. * I_{стр. изм.}

Пример 1 :

Товары/года	2007	2008
Овощи	112,7	122,6
Фрукты	125,8	132,8

В 2007 году по сравнению с 2008 годом цены на овощи увеличились на 40%, а на фрукты возросли на 60 %. Определить индекс товарооборота, цены и сумму.

I_ц = ∑q₁p₁/(∑q₁p₁/i_p)

I_ц = 122.6+132.8/(122.6/1.4+132.8/1.6) = 1.5

I_{физ.объёма} = I_{тов.оборота}/I_ц = 1,07/1,49 = 0,72

Ошибки

1)При повторном сопоставлении отбора

M =√G²/n G² – дисперсия; n – число выборки

2)При бесповторном способе отбора

M = √G­_­­­­­­²/n(1- n/N), где N - число генеральной совокупности

Придельная ошибка выборки – это макс. ошибки при заданной вероятности появления

3) ∆x = t * M

p = 0.683, TO t = 1

p = 0.954, TO t = 2

p = 0.997, TO t = 3

x = x’ ± ∆x

x - ∆x ≤ x ≤ x + ∆x

Средняя ошибка доли

W = m/n M = √ W(1- W)/n * ( 1 – m/n) – дифлекторный отбор

∆p = t * M – ошибка выборки; при m – число выборки; n - число доли.

Границы доли: w - ∆p ≤ p ≤ w + ∆p

Пример:

Рассчитать придельную ошибку выборки с вероятностью 0,954. Рассчитать с вероятностью границы доли ламп с продолжительностью горения больше 500 часов. При условии, что с партии – 10 тыс. ламп было отобрано для анализа 100 штук.

Имеем распределение по времени горения:

Время горения	До 300	300-350	350-400	400-450	450-500	500-550	550 и больш
Количество ламп	2	6	8	34	30	15	3

N – объём генеральной совокупности; n – объём выборочной совокупности. Согласно условию: N=10000 и n=100.

1)Находим среднее значение изучаемого признака:

x =275*2+325*6+375*8+425*34+475*30+525*15+575*5/100 = 449.5

Отсюда дисперсия равна:

G² = 4024.75

2) Выборка босповторная, поэтому рассчитываем предельную ошибку по формуле:

∆ x = t√G²/n *(1-n/N) = 2* √4024.75/100*(1-100/10000) = 12.6

Доверительный интервал: 449,5±12,6, т.е. с вероятностью 94,5% можно утверждать, что среднее время горения лампы будет не меньше 436,9 и не больше 462,1 часов.

3) Лампа с временем горения больше 500 часов – 20 из 100.

Для доли этих изделий предельная ошибка выборки будет равна:

∆p = t√pq/n*(1-n/N)

p=20/100=0.2;q=1-0.2=0.8

Тогда

∆ p = 3 * √0.2*0.8/10*(1-100/10000) = 0.12

Средние

Мес. доход	Число рабочих
1200-2000(1600)	12
2000-2800(2400)	60
2800-3600(3200)	20
3600-4400(4000)	8

1. Определим среднюю

х = ∑xf/∑f

x = 1600*12+2400*60+3200*20+4000*8/100 = 2592

2. Определим дисперсию

G ² = ∑(x-x)²f/∑f

G² = (1600-2592)²*12+(2400-2592)²*60+(3200-2592)²*20+(4000-2592)²*8/100 = 372736

3. Определим среднее квадратическое отклонение

G = √G² = 610

4. Найдём коэффициент вариации

V = G/x * 100 = 0.235 ( совокупность однородная, т.к. значение не превыш. 33%)