157. Каковы особенности анализа коэффициента детерминации в случае множественной регрессии?

Как и в парном регрессионном анализе, коэффициент детерминации R² определяет долю дисперсии у, объясненную регрессией, и эквивалентно определяется как величина . Этот коэффициент никогда не уменьшается при добавлении еще одной переменной в уравнение регрессии, если все ранее включенные объясняющие переменные сохраняются. Если новая переменная на самом деле не относится к уравнению, то увеличение коэффициента R² будет, вероятно, незначительным.

Скорректированный коэффициент R², который обычно обозначают , обеспечивает компенсацию для такого автоматического сдвига вверх путем наложения «штрафа» за увеличение числа независимых переменных. Этот коэффициент определяется следующим образом: , где k — число независимых переменных. По мере роста k увеличивается отношение k/(п — k— 1) и, следовательно, возрастает размер корректировки коэффициента R² в сторону уменьшения.

Можно показать, что добавление новой переменной к регрессии приведет к увеличению R², если и только если соответствующая r-статистика больше единицы (или меньше —1). Следовательно, увеличение R² при добавлении новой переменной необязательно означает, что ее коэффициент значимо отличается от нуля. Поэтому не следует, что увеличение R² означает улучшение спецификации уравнения.

158. Для чего используется скорректированный коэффициент детерминации?

Для наложения «штрафа» за увеличение числа объясняющих переменных, так как обычный при увеличении числа переменных всегда растет.

159. Как рассчитывается скорректированный коэффициент детерминации и какие факторы определяют его значение?

_{, где k-1 – число объясняющих переменных.}

_{Как и обычный} , скорректированный зависит от «объяснённой» суммы квадратов отклонений от выборочного среднего (ESS) и остаточной суммы квадратов (TSS), т.е. от , , Y. Но, в отличие от , adjusted _{не увеличивается при добавлении любых объясняющих переменных.} Adjusted _{увеличится, только если соответствующая добавленной переменной t-статистика больше 1 или меньше -1.}

Тесты на значимость уравнения множественной регрессии и его коэффициентов.

160. На основании каких показателей можно судить о качестве регрессионной модели в целом?

При проверке качества модели в первую очередь стоит обращать внимание на то, соответствует ли она логике экономического процесса, т.е. мы должны смотреть, реалистичны ли знаки коэффициентов перед независимыми переменными и реалистична ли их величина. Качество регрессии оценивается с помощью: , t-статистики и F-статистики.

R² (коэффициент детерминации):

Коэффициент детерминации показывает объясняющую способность регрессии.

Чем выше , тем больше построенная нами линия регрессии соответствует всем наблюдениям. Поэтому если мы хотим по регрессии строить предсказания (т.е. подставлять значения независимых переменных и получать точную, правдивую оценку зависимой), нам необходим высокий .

t-статистика:

t-статистика соизмеряет значение коэффициента с его стандартной ошибкой. Фактически же мы проверяем гипотезу о том, равен нулю коэффициент при рассматриваемой переменной или нет

F-статистика:

F-статистика представляет собой отношение объясненной суммы квадратов (в расчете на одну независимую переменную) к остаточной сумме квадратов (в расчете на одну степень свободы). Фактически проверяем гипотезу:

Но: все коэффициенты при независимых переменных равны нулю ( ) На: хотя бы один из них нулю не равен.