МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З ДИСЦИПЛІНИ

« Математичне моделювання систем»

Укладач: к.ф.-м.н., доц. С.А.Ус

Дніпропетровськ

2009

Лабораторна робота 1.

Побудування математичних моделей.

Мета роботи: навчитися будувати і розвязувати прості моделі лінійного програмування.

Порядок виконання роботи:

1. вивчити необхідний теоретичний матеріал;

2. побудувати математичну модель згідно варіанту;

3. розвязати отриману задачу геометричним методом та за допомогою Excel;

4. оформити звіт, який повинен містити:

• назву та мету роботи,

• індивідуальне завдання згідно варіанту,

• описання побудови математичної моделі,

• побудовану модель,

• розв’язання задачі.

Завдання. Побудувати математичну модель лінійного програмування для задачі, обраній згідно варіанту. Розвязати отриману задачу геометричним методом.

Приклад виконання завдання

Постановка задачі. Підприємство виготовляє і продає фарбу двох видів : для внутрішніх і зовнішніх робіт. Для виробництва фарби використовується два початкові продукти A і B. Витрати продуктів A і B на 1 т. відповідних фарб і запаси цих продуктів на складі приведені в таблиці:

Початковий	Витрата продуктів (у тоннах на 1 т. фарби)		Запас продукту на
продукт	фарба для внутрішніх робіт	фарба для зовнішніх робіт	складі ( ( тонн )
A	1	2	3
B	3	1	3

Продажна ціна за 1 тонну фарби для внутрішніх робіт складає 2 000 рублів, фарба для зовнішніх робіт продається по 1 000 рублів за 1 тонну. Вимагається визначити яку кількість фарби кожного виду слід проводити підприємству, щоб отримати максимальний дохід.

Розглянемо поетапне рішення цієї задачі декількома способами : графічним, і з використанням процедури " Пошук рішення " Excel.

I. Складання математичної моделі завдання.

1) Змінні завдання.

Позначимо: x₁ - кількість вироблюваної фарби для внутрішніх робіт;

x₂ - відповідна кількість фарби для зовнішніх робіт.

2) Обмеження, якими повинні задовольняти змінні завдання, :

x₁ , x₂ 0;

по витраті продукту A : x1 + 2x2 3;

по витраті продукту B: 3x₁ + x₂ 3;

У лівих частинах останніх двох нерівностей визначені витрати продуктів A і B, а в правих частинах нерівностей записані запаси цих продуктів.

3) Цільова функція завдання.

Позначимо Z дохід від продажу фарби (у тисячах рублів), тоді цільова функція завдання записується так:

Z = 2x₁ + x₂ ,

таким чином, завдання полягає в тому, щоб знайти max Z=2x1+x2, при обмеженнях:

x₁ + 2x₂ 3 (A)

3x₁ + x₂ 3 (B)

x₁ , x₂ 0 .

Оскільки змінні завдання x1 і x2 входять в цільову функцію і обмеження завдання лінійно, то відповідне завдання оптимізації називається завданням лінійного програмування (ЛП).

II. Графическое решение задачи лп.

У даному прикладі містяться тільки дві змінні x1 і x2, тому завдання можна вирішити графічно.

1) На площині x1, x2 будуємо область допустимих значень змінних, визначувану обмеженнями завдання, :

x₁ + 2x₂ 3 (A)

3x₁ + 1x₂ 3 (B)

x₁ , x₂ 0 .

Останнє обмеження визначає перший квадрант площини. Щоб побудувати безліч точок що задовольняють нерівності (А) нанесемо на площину графік прямий, що визначає межу цієї великої кількості, : x1+2x2=3 (A).

Приведемо це рівняння до виду: . А це рівняння прямої "у відрізках" і для побудови цієї прямої використовуються дві точки (a, 0) і (0, b). (Див. рис 1)

b

a

x₁

Рис.1

Привівши рівняння (A) до виду прямої у відрізках, отримаємо:

Аналогічно, для обмеження (B) рівняння прямої у відрізках буде:

Побудуємо обоє прямі на площині. Безліч точок, що задовольняє нерівностям (A) і (B) будуть напівплощини, що лежать під відповідними прямими, а безліч допустимих значень змінних буде перетином (загальною частиною) цих напівплощин, що лежить в першому квадранті: чотирикутник ABCD (см. рис. 2)

(B)

В C

1 (A)

D

A

3

А

Рис. 2

2) На безлічі допустимих рішень (ABCD) знайдемо точку, в якій цільова функція Z=2x1+x2 має максимальне значення. Для цього подивимося лінії рівня цільової функції. Лінією рівня називається безліч точок, на яких функція набуває постійного значення, :

Z = 2x1 + x2 = До, де До - постійна, що задається.

При К = 1 рівняння лінії рівня буде:

2x1 + x2 = 1

чи (у відрізках) :

При До = 2, аналогічно:

2x1 + x2 = 2

або .

Нанісши лінії рівня на область допустимих рішень (мал. 3), отримаємо, що при збільшенні значення Z відповідна лінія рівня переміщається паралельно попередньою управо і вгору. Таким чином, точкою з багатокутника ABCD в якій цільова функція Z має максимальне значення буде вершина С. Ця точка і визначає рішення задачі.

К=2

3

К=1

(B)

B

C

1 (A)

D

A

1 2 3

Рис.3

3) Обчислення координат оптимальної точки (С).

Точка C лежить на перетині прямих (A) і (B), тому, щоб визначити її координати потрібно вирішити систему рівнянь :

x ₁ + 2x₂ = 3 (A)

3x₁ + x₂ = 3 (B)

Рішення:

x₁^* = 0.6 ; x₂^* = 1.2 ;

максимальне значення Z :

Z^* = 2*0.6 + 1.2 = 2.4.