1.2. Используемые результаты

Теорема 1.2.1 (Свойства смежных классов).

Пусть группа, . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Любой элемент смежного класса может быть выбран в качестве его представителя, то есть , то ;

2. Любые два смежных класса либо совпадают, либо не пересекаются, то есть если , то ;

3. Мощность правого смежного класса совпадает с мощностью и совпадает с мощностью левого смежного класса , то есть ;

4. .

Лемма 1.2.2. Пусть группа, .Тогда:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Лемма 1.2.3 (Свойства примарных групп). Пусть – примарная группа.

1. Центр неединичной примарной группы отличен от 1, т.е. если то .

2. Если , то ,т.е. каждая собственная подгруппа примарной группы собственно содержится в своем нормализаторе.

3. Если , то и - простое число, т.е. все максимальные подгруппы примарной группы нормальны в и имеют простые индексы.

4. Если и , то .

5. Если , - простое число и .

Лемма 1.2.4. Пусть Тогда:

1. единичный элемент в соответственно;

2. ;

3. где ядро гомоморфизма ;

4. где ;

5. ;

6. .

Теорема 1.2.5. Если – гомоморфизм в , то .

Теорема 1.2.6. Если , то .

Лемма 1.2.7. 1) Если — главный ряд группы , то

2) Если — композиционный ряд группы , то — простая группа,

Теорема 1.2.8. (Жордана–Гёльдера). Любые два композиционных (главных) ряда группы изоморфны.

Теорема 1.2.9.(свойства характеристических подгрупп группы). Пусть – группа. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

Глава 2. Операторные группы

1. Основные понятия, связанные с операторными группами

Определение 2.1.1. Пусть и – некоторые группы и зафиксирован гомоморфизм группы в группу . Полагают для любого и любого и говорят, что задано действие группы А на группе G, причем элементы из называют операторами группы G, а группа G называется A-операторной группой.

Замечание 2.1.1. Отметим, что различным операторам из может соответствовать один и тот же автоморфизм группы G, иначе различные операторы из могут оказывать одно и тоже действие на группу G.

Определение 2.1.2. Оператор называется тождественным оператором, если справедливо равенство .

Обозначение 2.1.1. Множество всех тождественных операторов из совпадает ядром гомоморфизма и обозначается через

Замечание 2.1.2. Если , то говорят, что действует тождественно на G.

В дальнейшем группа операторов , как правило, действует на некоторой секции группы G.

Определение 2.1.3. Пусть K и L – подгруппы группы G и L . Тогда называется секцией группы G.

Определение 2.1.4. Если и то называется секцией группы G ниже B (выше B).

Определение 2.1.5. Если и , то называется нормальной секцией группы G.

Определение 2.1.6. Если K субнормальна в G, то называется субнормальной секцией группы G.

Определение 2.1.7. Нормальная секция называется центральной в G, если .

Определение 2.1.8. называется нормализатором секции в группе G, а называется централизатором секции в группе G.

Определение 2.1.9. Пусть G – -операторная группа. Подгруппа K на G называется A-допустимой, если , где

Определение 2.1.10. Пусть G – A-операторная группа. A-нормальным (A-субнормальным) рядом группы G называется всякий нормальный (субнормальный) ряд группы G, все члены которого являются -допустимыми группами.

Определение 2.1.11. Пусть G – A-операторная группа. A-нормальный (А-субнормальный) ряд без повторений, не допускающий дальнейшего уплотнения, называется A-главным (А-композиционным) рядом группы G.

Определение 2.1.12. Пусть G – A-операторная группа. Факторы A-главного (A-композиционного) ряда называют A-главными (A-композиционными) факторами группы G.