Решаем кнб для трех игроков

Пока что мы рассматривали только случаи с двумя игроками, и вы можете комбинировать эти методы как вам угодно для решения каких-либо задач; но можем ли мы применить их для решения задач, где игроков несколько? Все-таки в этих играх очень часто не просто два противника, а могут встречаться целые команды и даже соревнования, где может принять участие любой желающий.

Если команды всего две, решить задачу просто: всего-то и нужно, что посчитать каждую команду как отдельного игрока. В случае соревнований со свободным входом все немного сложнее, поскольку нужно будет принимать во внимание тот факт, что противников несколько; позже мы убедимся в том, что сложность возрастает с каждым последующим игроком. Решить КНБ для трех игроков сложно и неприятно, но все-таки возможно. Четыре игрока – вероятно, максимальное количество участников, с которыми я бы рискнул решать задачи одним из тех методов, которые мы сегодня рассмотрели. Если у вас интранзитивная игра с шестью участниками, где у каждого – свои варианты фигур, и огромная матрица выигрышей для каждого игрока с его комбинациями… ну, скажем так, решение все-таки возможно, но не без помощи компьютера и профессионального игрового теоретика, но сейчас не забивайте себе этим голову. Теоретики усвоили одно: чем сложнее игра, тем сложнее игрокам сойтись на оптимальных стратегиях… что означает, что при невероятно сложных условиях игры тестирование даст вам представление о том, как игра работает, что называется, «в поле», и это намного лучше, чем проводить бесконечные математические расчеты в надежде найти оптимальные решения, потому что игроки, скорее всего, не придут к единому мнению по поводу этих самых решений. Таким образом, для подобной сложной системы вам лучше использовать тестирование в игровом процессе… или, что более вероятно, вам придется упростить игровую механику!

Давайте рассмотрим простой случай: КНБ с тремя игроками. Определим правила следующим образом: если все игроки выбрасывают одну и ту же фигуру или три разных – это ничья. Если фигура одинакова у двух игроков, а третий – «третий лишний» — то тот, кто выбросил фигуру, которая принесла победу, получает по 1 очку от каждого проигравшего.Например, если у двоих –Камень, а у третьего – Ножницы, каждый игрок с Камнем получает +1 очка, а неудачник с ножницами теряет 2 очка. Или наоборот: у одного игрока Камень, а у двух других – Бумага, игрок с Камнем получает +2 очка, а двое других по одному теряют (вся идея в том, чтобы для простоты сохранить нулевую сумму игры, но можете использовать этот метод для решения других задач с механизмом счета).

Конечно, благодаря симметрии мы знаем, что ответ – 1:1:1, как и в версии с двумя игроками. Так что давайте воспользуемся той же схемой, что и раньше: победа при помощи Камня засчитывается как двойная (и из-за нулевой суммы это также значит, что проигрыш с Ножницами – двойной). В случае с двумя игроками мы обнаружили, что решение Камень=Ножницы=1/4, Бумага=1/2. Изменит ли положение ситуация с тремя игроками, ведь сейчас у нас два противника, из-за которых выбрасывать Ножницы – еще опаснее (и, возможно, еще выгоднее выбрасывать Камень)?

Что нам нужно для того, чтобы задача стала решаемой, так это посмотреть на нее с точки зрения одного игрока и считать двух противников – одним. В данном случае таблица выигрышей у нас получится такая:

	кк	кб	кн	бб	бн	нн
К	0	-1	+2	-2	0	+4
Б	+2	+1	0	0	-1	-2
Н	-4	0	-2	+2	+1	0

Вы можете сказать: «Погодите-ка, тут же три переменные и четыре неизвестные величины (по две к, н и б на каждого игрока), это же невозможно решить»! Но хорошая новость в том, что игра симметрична, так что мы можем решить эту задачу, потому что вероятности противника взяты вместе и умножены (вспомните, что мы умножаем вероятности, когда нам нужно, чтобы два независимых друг от друга события произошли одновременно). Нужно держать в уме одно: вообще-то вероятностей девять, а не шесть, просто некоторые из них дублируются. Настоящая таблица будет выглядеть так:

	кк	кб	бк	кн	нк	бб	бн	нб	нн
К	0	-1	-1	+2	+2	-2	0	0	+4
Н	+2	+1	+1	0	0	0	-1	-1	-2
Б	-4	0	0	-2	-2	+2	+1	+1	0

Все это означает, что, когда мы используем оригинальную матрицу и записываем ее в обычном виде, нужно помнить о том, что кб, кн и бн нужно умножать на 2, поскольку они представлены в двух вариантах (кб и бк, например). Заметьте, что я не упомянул, кто из двух противников кто; я уже говорил раньше, что это не имеет значения, потому что игра симметрична, так что вероятность того, что один игрок выбросит Камень или Ножницы, такая же, как и у других двоих.

Эту таблицу выигрышей не так легко представить в виде матрицы, поскольку у нас две переменные, а не одна. Один из вариантов: разделить таблицу на три мини-матрицы (каждая будет представлять первый выбор противника), а затем сравнить каждую со вторым выбором… а затем решить каждую матрицу отдельно и в конце концов совместить три решения в одно. Это огромная работа, так что давайте вместо всего этого попробуем использовать алгебру, выпишем все данные и посмотрим, сможем ли мы отделить что-то, совместив похожие величины:

>> Выигрыш для К= -2кб+4кн-2бб+4нн = 0

>>Выигрыш для Б= 2кк+2кб-2нб-2нн = 0

>>Выигрыш для Н= -4кк-4кн+2бб+2бн = 0

>> к+н+б=1 (как обычно)

В конце «=0», поскольку мы знаем, что это симметричная игра с нулевой суммой.

С чего начинать, имея на руках подобные расчеты? Обычно полезно начать с к+н+б=1, чтобы убрать одну из переменных, совместив ее с другими слагаемыми, и затем подставить результат в три вышеприведенных уравнения выигрыша. Избавившись от Камня (к=1-н-б) и подставляя результат, после умножения и сложения, мы получим:

>> -4бб+2бн-2б+4н = 0

>> -2б-4н+2 = 0

>> 2бб-6бн+8б+4н-4 = 0

Мы могли изолировать либо б, либо н в первом или последнем уравнении, используя квадратичную формулу (ну, знаете, «минус б плюс или минус квадратный корень из 4ас и разделить все на 2а»). Это дало бы нам два возможных решения, хотя в большинстве случаев вы обнаружите, что можете одно исключить, так как оно выбивается за границы от 0 до 1 (в которых должны оставаться к, б и н, поскольку они все – вероятности).

Тем не менее, среднее из вышеприведенных уравнений упрощает нашу жизнь, потому что мы можем найти б или н с помощью друг друга:

>> б=1-2н

Мы получим тот же результат, подставив это в два других уравнения, и, значит, вероятнее всего, мы на верном пути, поскольку результаты друг другу не противоречат:

>> 20нн-26н+6 = 0

Здесь нам все-таки придется использовать ту квадратичную формулу, которой мы так боялись. Умножив все, мы получим: н=(26+/-14)/40… таким образом, н=100% или н=30%. Оба ли эти решения верны? Чтобы убедиться в этом, нам нужно найти численное значение б=1-2н и любого другого уравнения с к.

Если н=30%, мы высчитываем, что б=40%, а к=30%, так что решение верно.

Если н=100%, мы высчитываем, что б= -100%, а к=100%, и это неверно (значение б не может быть ниже нуля), так что у нас остается всего один правильный ответ: к:б:н = 3:4:3.

Оказывается, случай с несколькими игроками влияет на задачу «победы с Камнем засчитываются как двойные», но мы, может быть, ожидали не такого результата; с тремя игроками ответ ближе к 1:1:1, чем с двумя! Возможно, это из-за того, что вероятность исхода с ничьей повышается, если один игрок выберет Камень, другой – Ножницы, а третий – Бумагу. И выбирать Бумагу здесь не так рискованно, как в варианте с двумя игроками, ведь, даже если один противник выберет Камень, другой может тоже выбрать Бумагу, и это превратит двойной проигрыш в ничью.