Решаем «GameofMalkav»

До настоящего момента мы постепенно разбирались с каждым нашим предположением: что в игре симметричен выигрыш, что это игра с нулевой суммой, что есть всего три фигуры. Но есть один момент, который мы не прояснили в варианте игры с двумя игроками – что случится, если у игроков будут разные варианты фигур. Будет уже не просто несимметричный выигрыш, а несимметричная игра. Если мы будем опираться на предположение, что у одного игрока столько же фигур, сколько и у другого, что случится, если, скажем, у одного игрока шесть фигур, а у его противника – всего лишь пять? Казалось бы, такого рода задача нерешаема для уникального уравнения (ведь неизвестных шесть, а уравнений всего пять, верно?), но, по сути, получается, что мы в некоторых случаях можем использовать более мощную технику для решения этой задачи в уникальном порядке.

Давайте рассмотрим карту под названием «GameofMalkav» из странной ККИ, о которой большинство из вас, наверное, и не слышало. Она применяется следующим образом: все игроки втайне друг от друга одновременно загадывают число. Игрок, у которого эта карта, выбирает число в диапазоне от 1 до 6, а все остальные – от 1 до 5. Каждый игрок получает количество очков жизни, равное выбранному номеру… если только другой игрок не выбрал число, меньшее на 1 – в этом случае игрок теряет столько очков жизни. Например, если вы выбрали 5, вы получаете 5 очков жизни, если только кто-то другой не выбрал 4. В таком случае вы теряете 5 очков жизни, а противник получает 4, если только кто-то не выбрал 3… и так далее. Чем больше игроков, тем сложнее, так что давайте рассмотрим вариант, где их только двое. Давайте также сделаем упрощающее допущение, что игра – с нулевой суммой, и, если вы получаете 1 очко жизни, противник его теряет (я понимаю, что это не всегда верно, и это будет варьироваться в зависимости от относительных итогов, но так мы, по крайней мере, начнем понимать, что это вообще за карта).

Мы можем задуматься, а какой вообще ожидаемый выигрыш от этой карты? Помогает ли то, что у вас 6 ходов, а у вашего противника – всего 5? Какова лучшая стратегия, и к какому результату мы ожидаем прийти? Короче говоря, имеет ли смысл использовать эту карту… и, если да, как вы решите, используя ее, какое число загадать?

Как обычно, начнем с таблицы выигрышей. Давайте назовем столбцы И1-И6 (игрок), а строки – П1-П5 (противник):

	П1	П2	П3	П4	П5
И1	0	+3	-2	-3	-4
И2	-3	0	+5	-2	-3
И3	+2	-5	0	+7	-2
И4	+3	+2	-7	0	+9
И5	+4	+3	+2	-9	0
И6	+5	+4	+3	+2	-11

Мы могли бы попытаться решить ее, и, кажется, ни для одного, ни для второго игрока нет вариантов, над которыми доминируют другие, но мы бы быстро обнаружили, что в цифрах куча знаков после запятой… а еще то, что решения, оказывается, нет – и причину вы бы обнаружили, как только принялись за решение. По сути, 6 уравнений и 5 переменных создают избыточность… только вот в этом случае мы не можем откинуть строки, и в конце концов вы получите как минимум два противоречащих друг другу уравнения. Так что здесь не может не быть стратегий, над которыми доминируют другие стратегии… дело просто в том, что они очевидны не сразу, потому что у нас здесь несколько строк или столбцов, над всеми которыми сразу доминируют другие несколько строк, и это нельзя заметить невооруженным взглядом. Как же нам тогда их найти?

Мы начнем с того, что найдем лучшие варианты для каждого игрока, как если бы игрок знал, что сделает его противник, заранее. К примеру, если противник знает, что мы выбросим И1, их лучшим вариантом стал бы П5 (тогда у него было бы чистые +4, а у нас – чистые -4). Но затем мы бы продолжили реагировать на их реакцию: если игрок знает, что противник выберет П5, лучшим ходом станет И4. Но лучший ход против И4 – П3. Лучший ход против П3 – И2. Лучших ходом против И2 два – П1 и П5, так что рассмотрим оба варианта:

>>Лучший ответ на П5 – это И4, как и ранее (и мы можем продолжать непереходную последовательность П5->И4->П3->И2->П5 бесконечно).

>> Лучший ответ на П1 – И6. Лучший ход против И6 – П5, что снова приводит нас к непереходной последовательности П5->И4->П3->И2->П1->И6->П5.

А что, если мы начнем не оттуда, скажем, первым нашим ходом станет И3? Тогда противнику следует будет выбрать П2, мы ответим на это И6, что в итоге приведет нас к петле П5->И4->П3->И2->П1->И6->П5. Если мы начнем с П5, противник выберет П4, на что получит И3 в ответ, а мы только что рассмотрели этот случай. Почему бы нам не начать с П1, П2, П3, П4, П5, P2, И4 или И6? Мы уже обсуждали эти варианты, анализировать больше нечего.

Таким образом, неважно, откуда мы начинаем, в конце концов, после того, как мы совсем немного поиграем, поймем, что только небольшая фиксированная последовательность ходов на самом деле является частью непереходной натуры этой игры, потому что эти ходы создают две непереходные петли: П5/И4/П3/И2 и П5/И4/П3/И2/П1/И6. Если мы посмотрим на эти последовательности, то увидим, что игроки всегда выбирают либо П1, П3, П5, либо И2, И4, И6. Любой другой вариант невыгоден: например, в любом моменте, где кажется, что использовать И6 – выгодно(то есть вы ожидаете, что выиграете), на самом деле нет никакой причины использовать И5 (даже если вы ожидаете, что ваш противник сделает ход П5, вам лучше использовать не И5, а И4).

Если вы используете эту технику для того, чтобы находить непереходные петли, часто можно уменьшить более широкий спектр вариантов до маленького, в котором будут только подходящие варианты… или, на худой конец, вы докажете, что все эти варианты имеют право на существование. Время от времени вам будут встречаться игры (Prisoner’s Dilemma – довольно-таки известный пример, если вы о нем слышали), где для обоих игроков существуют одинаково дающие преимущество зоны в игровом пространстве, так что при последующих раундах можно ожидать, что все игроки будут оказываться в этих зонах; специалисты в теории игр называют такие случаи равновесием Нэша в честь математика, который первым их описал (можете на этом не заморачиваться).

В данном случае мы можем сократить таблицу до нескольких переменных, которые нам интересны:

	П1	П3	П5
И2	-3	+5	-3
И4	+3	-7	+9
И6	+5	+3	-11

Запомните, что эти переменные несимметричны. Таким образом, мы знаем, что П1=П3=П5 и И2=И4=И6, но мы не знаем, равны ли они все нулю, или одна отрицательна по отношению к другой (предполагается, что И1 – положительна, а П1 – отрицательна, раз уж мы ожидаем, что у игрока с этой картой есть преимущество, но… посмотрим).

Мы составляем матрицу, используя Х, который обозначает выигрыш для И2, И4 и И6:

-3         +5        -3         X

[           +3        -7         +9        X         ]

+5        +3        -11       X

Ее можно сократить до треугольной формы и решить так же, как мы делали раньше. Попробуйте сделать это самостоятельно! Ответ я приведу ниже.

Итак, решив эту матрицу, вы получите вероятности П1, П3 и П5, но, чтобы узнать вероятности выбора И2, И4 и И6, вам нужно повернуть матрицу по диагонали, так, чтобы все П оказались слева, а И – наверху (иными словами, вы ее транспонируете). В данном случае нам также потребуется сделать все числа отрицательными, потому что это матрица с точки зрения противника, и, следовательно, выигрыши противоположны:

+3        -3         -5         Y

[           -5         +7        -3         Y         ]

+3        -9         +11      Y

Ее тоже можно решить, как обычно. Если вам интересно, ответы будут приблизительно такими:

И2:И4:И6 = 49% : 37% : 14%

П1:П3:П5 = 35% : 41% : 24%

Ожидаемый выигрыш для игрока И (выше он обозначен как Х) — 0.31; выигрыш для игрока П (Y) отрицателен по отношению к Х — -0.31.

Иными словами, если в эту игру играют двое и играют оптимально, игрок с этой картой в среднем получает преимуществов одну треть очка жизни – так что, пока мы доказывали, что использование этой карты и возможность выбора числа 6 – это преимущество, оказалось, что это не совсем так. С другой стороны, вероятность внезапных крупных изменений может сделать эту карту стоящей в настоящей игре (или нет) – все зависит от вашей колоды. И, разумеется, игра заметно усложняется, если игроков трое или больше – эти случаи мы здесь не рассматриваем.