Немного математических теорем

Прежде чем ответить на этот вопрос, я попрошу вас довериться мне в некоторых вопросах; люди, намного меня умнее, доказали эти некоторые вопросы математически, но в данном случае курс математики бесполезен, так что я просто отмахнусь кое от чего. Надеюсь, вы мне это простите.

Итак, во-первых, если игровые механики симметричны (то есть у обоих игроков – одинаковый набор вариантов и все эти варианты работают одинаково), исход будет для обоих игроков одинаковым. Вероятность того, что противник выберет Камень, такая же, как и вероятность того, что Камень выберем мы.

Во-вторых, каждый выигрыш должен быть таким же, как и остальные; таким образом, К = Б = Н. Если какую-либо стратегию вообще стоит выбирать, она будет предоставлять такой же выигрыш, как и все остальные, потому что, если бы выигрыш был меньше, чем в других таких же стратегиях, ее уже не стоило бы выбирать (вы бы просто взяли какую-нибудь стратегию с большим выигрышем). Если бы выигрыш в ней был больше, чем в других, вы бы выбирали только ее и игнорировали остальные стратегии. Таким образом, все потенциальные ходы, которые можно выбрать, имеют одинаковый выигрыш.

И, наконец, в-третьих: выигрыш для всего должен равняться нулю. Особенно это применимо к симметричным играм с нулевой суммой (потому что выигрыши из-за симметрии будут одинаковыми для обоих игроков, и единственный вариант, при котором возможно то, что оба выигрыша будут в сумме давать ноль и при этом быть равными, это тот, при котором они оба будут равны нулю).

Подытожим:

>> Все выигрыши, которые в принципе стоит рассматривать, дают равный выигрыш по отношению друг к другу.

>> В симметричных играх с нулевой суммой все выигрыши равны нулю.

>> В симметричных играх для всех игроков исход одинаков.

Заканчиваем решение кнб

Давайте вернемся к нашим уравнениям. Камень-Ножницы-Бумага – это симметричная игра с нулевой суммой, так что:

>> К = Б = Н = 0.

Поскольку наш противник должен выбрать ровно одну фигуру, мы также знаем, что вероятности его фигур составляют 100%: >> к + б + н= 1

С этого момента мы можем решить систему уравнений методом замены:

>> К = 0 = н-б, таким образом, б=н

>>Б = 0 = к-н, таким образом, к=н

>>Н = 0 = б-к, таким образом, б=к

>>к+б+н = к+к+к = 1, таким образом, к=1/3

>>Поскольку к=б=н, б=1/3, н=1/3

Так, наше решение задачи будет состоять в том, что наш противник будет выбрасывать к, б и н – каждую фигуру с вероятностью в 1/3. Из этого можно сделать вывод, что, если мы играем против совершенно случайного противника, абсолютно неважно, что мы выберем, наши шансы на победу остаются прежними в любом случае. Конечно, противник это тоже знает, так что, если мы выберем несбалансированную стратегию, он может изменить соотношение своих фигур, чтобы победить нас; лучшая стратегия здесь – выбирать каждую фигуру с вероятностью в 1/3.

Заметьте, что в настоящей игре это вовсе не означает, что лучшая стратегия – это просто играть случайным образом (скажем, втайне кидать кубик перед каждой фигурой)! Как я и говорил ранее, когда люди пытаются играть случайно, у них обычно получается не очень хорошо, так что в реальном мире по-прежнему самой лучшей стратегией остается выбрасывание каждой фигуры примерно с такой же частотой, как и остальных, но, с другой стороны, каждая выбираемая вами фигура зависит от вашей способности обнаруживать и отслеживать типичные схемы в игре вашего противника и в то же время маскировать такие же схемы в вашей игре. Так что наше решение 1:1:1 не указывает вам, какую фигуру выбрать в любое данное время (и именно отсюда, по сути, растут ноги у навыка игры), но со временем мы ожидаем, что соотношение в оптимальной стратегии будет 1:1:1 (поскольку любое отклонение от этого передает вашему противнику более выигрышную стратегию, пока вы снова не вернетесь к 1:1:1).