Нерешенная задача №1: Лотерея imf

Первая нерешенная задача — предыдущее задание на дом. Я легко могу применить метод Монте-Карло (с помощью С++ или же Excel), и буду уверен в ответе на вопрос “сколько ресурсов получит игрок”, но я не знаю точно, как предоставить точный доказуемый ответ математически (это же бесконечная серия). Если вы знаете ответ, опубликуйте его здесь… после того, как проверите его методом Монте-Карло, разумеется.

Нерешенная задача №2: Последовательности фигур

Эту задачу (и снова она выходит далеко за пределы задач, решаемых в этом блоге) мне подкинул один знакомый геймер более 10 лет тому назад. Он заметил одну интересную особенность, играя в Вегасе в блэк-джек: вынимая карты из башмака на 8 колод, он видел десять фигур подряд (фигура, или фигурная карта — 10, Джокер, Король или Королева, так что всего их 16 в стандартной колоде на 52 карты, таким образом, их 128 в башмаке на 416 карт). Какова вероятность того, что в этом башмаке по меньшей мере одна последовательность десяти или более фигур? Предположим, что их тасовали честно, в случайном порядке. (Или же, если вам так больше нравится, какова вероятность того, что нигде не встречается последовательность из десяти или более фигур?)

Можем упростить задачу. Вот последовательность из 416 частей. Каждая часть — 0 или 1. Есть 128 единиц и 288 нулей, случайно разбросанных по всей последовательности. Сколько существует способов в случайном порядке перемежить 128 единиц 288 нулями, и сколько раз в этих способах встретится как минимум одна группа десяти или более единиц?

Всякий раз, как я только принимался за решение этой задачи, она казалась мне легкой и очевидной, но, стоило мне углубиться в детали, она внезапно разваливалась на части и казалась мне просто-таки невозможной. Так что не торопитесь выпаливать ответ: сядьте, хорошенько подумайте, изучите условия задачи, попробуйте подставить реальные числа, потому что все люди, с которым я говорил об этой задаче (в том числе и несколько аспирантов, работающих в этой сфере), реагировали примерно одинаково: “Это же совершенно очевидно… ой, нет, погоди, совсем не очевидно”. Это тот самый случай, на который у меня нет метода для просчитывания всех вариантов. Я безусловно мог бы прогнать задачу методом брутфорса через компьютерный алгоритм, но гораздо более любопытно было бы узнать математический способ решения этой задачи.

Уровень 5: Вероятности и случайность в полнейшем беспорядке

Ответы на вопросы прошлой недели

Если вы хотели сверить ответы на задачи прошлой недели:

Драконьи кости

Во-первых, обратите внимание, что так называемая «драконья кость» всего лишь замаскированная 1d6+1. Если вы представите, что Дракон – это 7, раз он всегда побеждает, то грани, соответственно будут выглядеть как 2-3-4-5-6-7, так что по сути, вопрос сводится к тому, насколько бонус +1 может повлиять на ваш шанс выбросить больше на кости 1d6. Как оказалось, гораздо сильнее, чем кажется большинству людей!

Если вы выпишите все 36 вероятностей выпадения для 2-7 и 1-6, вы обнаружите, что вы можете проиграть казино 21 одним способом (7-1, 7-2, 7-3, 7-4, 7-5, 7-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 4-1, 4-2, 4-3, 3-1, 3-2, 2-1), сыграть вничью 5 способами (6-6, 5-5, 4-4, 3-3, 2-2) и победить 10 способами (5-6, 4-5, 4-6, 3-4, 3-5, 3-6, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6). Мы не обращаем внимания на ничью, раз она означает переброс, пока кто-нибудь не одержит верх, так что лишь 31 случай завершается победой или поражением. Из них 21 раз вы проигрываете и 10 раз побеждаете, так что эта игра даёт шанс на победу 10 из 31. Другими словами, вы выигрываете чуть реже, чем 1 раз из 3.

Чак-э-лак

Раз на трёх костях d6 результат может выпасть 216 разными способами, проще будет всё проверить в Excel, а не от руки. Если вы всё рассчитали, вы обнаружили, что если поставить на 1, существует 75 вариантов, при которых выпадает одна победная кость (1-Х-Х, где «Х» — любой из оставшихся проигрышных результатов и таких вариантов может выпасть 25, и ещё Х-1-Х и Х-Х-1 с победой на двух других костях – вместе 75). Аналогично, существует 15 вариантов выбросить две победные кости (1-1-Х, 1-Х-1, Х-1-1, по пять вариантов каждая из трёх = 15), и лишь один вариант тройной победы (1-1-1). Так как все цифры от 1 до 6 имеют равный шанс выпадения, ваши шансы на победу всегда будут такими же, независимо от того, на какую цифру вы поставили.

Чтобы получить предполагаемую цифру, мы умножаем каждый из 216 вариантов на вероятность его выпадения, раз все 216 результатов одинаково вероятны, мы просто сложим их все и разделим на 216, чтобы получить предполагаемый процент выигрыша и проигрыша.

(75 выигрышных вариантов * $1 выигрыша) + (15 двойных выигрышей * $2) + (1 тройной выигрыш * $3) = $108 выигрыша. Раз мы сыграли 216 раз, а 108 – это как раз половина, на первый взгляд, шансы равные, 50/50.

Но не торопитесь! Нам всё ещё осталось подсчитать убытки в случае проигрыша, а проигрываем мы чаще, чем 108 раз. Из 216 вариантов, которые могут выпасть на костях, выигрышными являются только 91, а 125 раз мы проигрываем (разница возникает из-за того, что хотя двойной и тройной выигрыш гораздо ценнее, когда он выпадает на вашу цифру, вариантов выбросить двойную и тройную цифру, на которую вы не поставили, гораздо больше). И каждый из этих 125 проигрышей стоит вам $1 убытка.

Сложив всё это, вы получаете $17 предполагаемого проигрыша на 216 бросков. Или предположительный убыток в 7,9 цента, каждый раз, когда вы делаете ставку в $1. Пусть это и не много (7,9 – в буквальном смысле гроши), но не забывайте, что это за каждый доллар! Так что у казино 7,9 % гарантированной прибыли с этой игры – один из худших раскладов для игрока из всех игр, которые предлагает казино.