Парадокс мальчика и девочки

Это приводит нас к другому известному парадоксу, который, как правило, всех озадачивает — парадоксу мальчика и девочки. Единственное, о чём я пишу сегодня, и что не связано непосредственно с играми (хотя я предполагаю, что это просто значит, что я должен подтолкнуть вас на создание соответствующей игровой механики). Это скорее головоломка, но интересная, и чтобы решить её, нужно понимать условную вероятность, про которую мы говорили выше.

Задача: у меня есть друг с двумя детьми, хотя бы один ребёнок — девочка. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже девочка? Давайте предположим, что в любой семье шанс рождения девочки или мальчика 50/50 и это справедливо для каждого ребёнка (на самом деле в сперме некоторых мужчин больше сперматозоидов с X-хромосомой или Y-хромосомой, поэтому вероятность немного меняется, если вы знаете, что один ребёнок — девочка, вероятность рождения девочки немного выше, кроме того есть ещё другие условия, например, гермафродитизм, но для решения этой задачи, мы не будем принимать это во внимание и предположим, что рождение ребёнка — это независимое событие и вероятность рождения мальчика или девочки одинакова).

Так как речь идёт о шансе 1/2, интуитивно мы ожидаем, что ответ будет, скорее всего, 1/2 или 1/4, или какое-то другое круглое число, кратное двум. Но ответ: 1/3. Подождите, почему?

Сложность в данном случае в том, что информация, которая у нас есть, сокращает количество возможностей. Предположим, родители — фанаты Улицы Сезам и независимо от того, родился мальчик или девочка, назвали своих детей A и B. При нормальных условиях есть четыре равновероятные возможности: A и B — два мальчика, A и B — две девочки, A — мальчик и B — девочка, A — девочка и B — мальчик. Так как мы знаем, что хотя бы один ребёнок — девочка, мы можем исключить возможность, что A и B — два мальчика, таким образом, у нас остается три (всё ещё равновероятных) возможности. Если все возможности равновероятны и их три, мы знаем, что вероятность каждой из них равна 1/3. Только в одном из этих трёх вариантов оба ребёнка — две девочки, поэтому ответ 1/3.

И снова о парадоксе мальчика и девочки

Решение задачи становится ещё более нелогичнее. Представьте, что я скажу вам, что у моего друга двое детей и один ребёнок — девочка, которая родилась во вторник. Предположим, что при нормальных условиях вероятность рождения ребёнка в один из семи дней недели одинакова. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже девочка? Вы можете подумать, что ответ всё равно будет 1/3; какое значение имеет вторник? Но и в этом случае интуиция подводит нас. Ответ: 13/27, что не просто не интуитивно, это очень странно. В чём дело в данном случае?

На самом деле вторник меняет вероятность, потому что мы не знаем, какой ребёнок родился во вторник или возможно двое детей родились во вторник. В данном случае используем ту же логику, как и выше, мы считаем все возможные комбинации, когда хотя бы один ребёнок — девочка, которая родилась во вторник. Как и в предыдущем примере предположим, что детей зовут A и B, комбинации выглядят следующим образом:

 

• A — девочка, которая родилась во вторник, B — мальчик (в данной ситуации есть 7 возможностей, по одной для каждого дня недели, когда мог родится мальчик).

• В — девочка, которая родилась во вторник, А — мальчик (также 7 возможностей).

• A — девочка, которая родилась во вторник, В — девочка, которая родилась в другой день недели (6 возможностей).

• В — девочка, которая родилась во вторник, А — девочка, которая родилась не во вторник (также 6 вероятностей).

• А и В — две девочки, которые родились во вторник (1 возможность, нужно обратить на это внимание, чтобы не посчитать дважды).

Суммируем и получаем 27 разных равновозможных комбинаций рождения детей и дней с хотя бы одной возможностью рождения девочки во вторник. Из них 13 возможностей, когда рождаются две девочки. Также это выглядит совершенно нелогично, и похоже данная задача создана только для того, чтобы вызвать головную боль. Если вы до сих пор озадачены этим примером, у игрового теоретика Йеспера Юла есть хорошее объяснение этого вопроса на его сайте.