Карты и зависимость

Мы обсудили независимые события, например, бросание игральной кости, и теперь знаем много мощных инструментов анализа случайности во многих играх. Расчёт вероятности немного сложнее, когда речь идёт о вынимании карт из колоды, потому что каждая карта, которую мы вынимаем, влияет на оставшиеся в колоде карты. Если у вас стандартная колода в 52 карты, и вы вынимаете, например, 10 червей и хотите знать вероятность того, что следующая карта будет той же масти, вероятность изменилась, потому что вы уже убрали одну карту масти черви из колоды. Каждая карта, которую вы убираете, изменяет вероятность следующей карты в колоде. Так как в данном случае предыдущее событие влияет на следующее, мы называем такую вероятность зависимой.

Обратите внимание, что когда я говорю “карты”, я имею в виду любую игровую механику, в которой есть набор объектов и вы убираете один из объектов, не заменяя его, “колода карт” в данном случае аналог мешочку с фишками, из которого вы вынимаете одну фишку и не заменяете её, или урне, из которой вы вынимаете цветные шарики (на самом деле я никогда не видел игру, в которой бы была урна, из которой бы вынимали цветные шарики, но похоже, что преподаватели теории вероятности по какой-то причине предпочитают данный пример).

Свойства зависимости

Хотелось бы уточнить, что когда речь идет о картах, я предполагаю, что вы вынимаете карты, смотрите на них и убираете их из колоды. Каждое из этих действий — важное свойство.

Если бы у меня была колода, скажем, из шести карт с числами от 1 до 6, и я бы перетасовал их и вынул одну карту и затем перетасовал все шесть карт снова, это было бы аналогично бросанию шестигранной игральной кости; один результат не влияет на последующие. Только если я буду вынимать карты и не буду заменять их, результат того, что я вынул карту с числом 1, повысит вероятность того, что в следующий раз я выну карту с числом 6 (вероятность будет повышаться пока я в итоге не выну эту карту или пока не перетасую карты).

Факт того, что мы смотрим на карты, также важен. Если я выну карту из колоды и не посмотрю на неё, у меня не будет дополнительной информации, и на самом деле вероятность не изменится. Это может прозвучать нелогично. Как простое переворачивание карты может волшебным образом изменить вероятность? Но это возможно, потому что вы можете посчитать вероятность для неизвестных предметов только исходя из того, что вы знаете. Например, если вы перетасуете стандартную колоду карт, откроете 51 карту и ни одна из них не будет трефовой дамой, вы будете знать со 100% уверенностью, что оставшаяся карта — это трефовая дама. Если же вы перетасуете стандартную колоду карт и вынете 51 карту, несмотря на них, то вероятность того, что оставшаяся карта — трефовая дама, будет всё равно 1/52. Открывая каждую карту, вы получаете больше информации.

Подсчёт вероятности для зависимых событий выполняется по тем же принципам, как и для независимых, за исключением того, что это немного сложнее, так как вероятности меняются, когда вы открываете карты. Таким образом, вам нужно перемножить много разных значений, вместо умножения одного и того же значения. На самом деле это значит, что нам нужно соединить все расчёты, которые мы делали, в одну комбинацию.

Пример

Вы тасуете стандартную колоду в 52 карты и вынимаете две карты. Какова вероятность того, что вы вынете пару? Есть несколько способов вычислить эту вероятность, но, наверно, самый простой выглядит следующим образом: какова вероятность того, что вынув одну карту, вы не сможете вынуть пару? Эта вероятность равна нулю, поэтому не так важно какую первую карту вы вынули, при условии, что она совпадает со второй. Не важно какую именно карту мы вынем первой, у нас всё равно есть шанс вынуть пару, поэтому вероятность того, что мы можем вынуть пару, после того как вынули первую карту, равна 100%.

Какова вероятность того, что вторая карта совпадет с первой? В колоде остается 51 карта и 3 из них совпадают с первой картой (вообще-то их было бы 4 из 52, но вы уже убрали одну из совпадающих карт, когда вынули первую карту!), поэтому вероятность равна 1/17. (Поэтому, когда в следующий раз парень, сидящий за столом напротив вас за игрой в техасский холдем, скажет: “Круто, ещё одна пара? Мне сегодня везет”, вы будете знать, что есть довольно высокий шанс того, что он блефует.)

Что если мы добавим два джокера и теперь у нас в колоде 54 карты, и мы хотим знать какова вероятность вынуть пару? Первой картой может оказаться джокер и тогда в колоде будет только одна карта, а не три, которая совпадёт. Как найти вероятность в данном случае? Мы разделим вероятности и перемножим каждую возможность.

Нашей первой картой может быть джокер или какая-нибудь другая карта. Вероятность вынуть джокер равна 2/54, вероятность вынуть какую-то другую карту равна 52/54.

Если первая карта — джокер (2/54), то вероятность того, что вторая карта совпадет с первой равна 1/53. Перемножаем значения (мы можем перемножить их, потому что это отдельные события, и мы хотим, чтобы оба события произошли) и получаем 1/1431 — меньше чем одну десятую процента.

Если первой вы вынимаете какую-то другую карту (52/54), вероятность совпадения со второй картой равна 3/53. Перемножаем значения и получаем 78/1431 (немного больше чем 5,5%).

Что мы делаем с этими двумя результатами? Они не пересекаются, и мы хотим знать вероятность каждого из них, поэтому мы суммируем значения! Получаем окончательный результат 79/1431 (всё равно примерно 5,5%).

Если бы мы хотели быть уверенными в точности ответа, мы могли бы посчитать вероятность всех остальных возможных результатов: вынимание джокера и несовпадение со второй картой или вынимание какой-то другой карты и несовпадение со второй картой и, просуммировав их все с вероятностью выигрыша, мы бы получили ровно 100%. Я не буду приводить здесь математический расчёт, но вы можете попробовать посчитать, чтобы перепроверить.