Перестановка

До сих пор мы предполагали, что порядок расположения чисел при бросании игральных костей не имеет значения. Выпадение 2+4 — это тоже самое, что и выпадение 4+2. В большинстве случаев мы вручную подсчитываем число благоприятных исходов, но иногда данный способ непрактичен и лучше использовать математическую формулу.

Пример данной ситуации из игры с игральными костями “Farkle”. Для каждого нового раунда вы бросаете 6d6. Если вам повезет и выпадут все возможные результаты 1-2-3-4-5-6 (“стрейт”), вы получите большой бонус. Какова вероятность того, что это произойдет? В данном случае есть множество вариантов выпадения данной комбинации!

Решение выглядит следующим образом: на одной из игральных костей (и только на одной) должно выпасть число 1! Сколько вариантов выпадения числа 1 на одной игральной кости? Шесть, так как есть 6 игральных костей и на любой из них может выпасть число 1. Соответственно, возьмите одну игральную кость и отложите ее в сторону. Теперь, на одной из оставшихся игральных костей должно выпасть число 2. Для этого есть пять вариантов. Возьмите еще одну игральную кость и отложите ее в сторону. Затем следует, на четырех из оставшихся игральных костей может выпасть число 3, на трёх из оставшихся игральных костей может выпасть число 4, на двух — число 5 и в итоге у вас остается одна игральная кость, на которой должно выпасть число 6 (в последнем случае игральная кость одна и выбора нет). Чтобы посчитать количество благоприятных исходов для выпадения комбинации “стрейт”, мы умножаем все разные, независимые варианты: 6x5x4x3x2x1 = 720 — похоже, что есть довольно большое количество вариантов того, что выпадет эта комбинация.

Чтобы посчитать вероятность выпадения комбинации “стрейт”, нам нужно разделить 720 на количество всех возможных исходов для бросания 6d6. Каково число всех возможных исходов? На каждой игральной кости может выпасть 6 граней, поэтому мы умножаем 6x6x6x6x6x6 = 46656 (число намного больше!). Делим 720/46656 и получаем вероятность равную примерно 1,5%. Если бы вы занимались дизайном этой игры, вам бы полезно было это знать, чтобы вы могли создать соответствующую систему подсчёта очков. Теперь мы понимаем, почему в игре “Farkle” вы получите такой большой бонус, если вам выпадет комбинация “стрейт”, потому что эта ситуация довольно редкая!

Результат также интересен и по другой причине. На примере видно насколько на самом деле редко за короткий период выпадает результат, соответствующий вероятности. Конечно, если бы мы бросали несколько тысяч игральных костей, разные грани игральных костей выпадали бы довольно часто. Но когда мы бросаем только шесть игральных костей, почти никогда не случается так, чтобы выпала каждая из граней! Исходя из этого становится понятно, что глупо ожидать, что сейчас выпадет другая грань, которая еще не выпадала “потому что нам давно не выпадало число 6, а значит выпадет сейчас”.

Слушай, твой генератор случайных чисел сломался…

Это приводит нас к распространённому заблуждению по поводу вероятности: предположение, что все исходы выпадают с одинаковой периодичностью на протяжении небольшого периода времени, что на самом деле не так. Если мы бросаем игральные кости несколько раз, периодичность выпадения каждой из граней не будет одинаковой.

Если вы когда-либо раньше работали над онлайн игрой с каким-нибудь генератором случайных чисел, вы, скорее всего, сталкивались с ситуацией, когда игрок пишет в службу технической поддержки, чтобы сказать, что ваш генератор случайных чисел сломан и не показывает случайные числа, и он пришёл к такому выводу, потому что только что убил 4 монстра подряд и получил 4 совершенно одинаковые награды, а эти награды должны выпадать только в 10% случаев, поэтому такое почти никогда не должно происходить, а значит это очевидно, что ваш генератор случайных чисел сломался.

Вы делаете математический расчёт. 1/10*1/10*1/10*1/10 равно 1 из 10 000, что значит, что это довольно редкий случай. И именно это пытается вам сказать игрок. Есть ли в данном случае проблема?

Всё зависит от обстоятельств. Сколько игроков сейчас на вашем сервере? Предположим, у вас достаточно популярная игра и каждый день в неё играет 100 000 человек. Сколько игроков убьют четыре монстра подряд? Возможно все, несколько раз за день, но давайте предположим, что половина из них просто обмениваются разными предметами на аукционах или переписываются на RP серверах, или выполняют другие игровые действия, таким образом, на самом деле на монстров охотится только половина из них. Какова вероятность того, что кому-то выпадет одна и та же награда? При данной ситуации можно ожидать, что одна и та же награда может выпасть несколько раз за день, как минимум!

Кстати, поэтому кажется, что каждые несколько недель по крайней мере кто-то выигрывает в лотерею, даже если этим кем-то никогда не бываете вы или ваши знакомые. Если достаточное количество людей играет каждую неделю, есть вероятность того, что где-то найдется хотя бы один счастливчик… но если вы играете в лотерею, вероятность того, что вы выиграете меньше вероятности того, что вас пригласят на работу в “Infinity Ward”.