Неравные вероятности

До сих пор мы предполагали, что каждая грань игральной кости выпадает с одинаковой периодичностью, потому что таким представляется себе принцип работы игральной кости. Но иногда вы сталкиваетесь с ситуацией, когда возможны разные исходы и у них разные шансы выпадения. Например, в одном из дополнений карточной игры “Nuclear War” есть игровое поле со стрелкой, от которого зависит результат запуска ракеты: в основном, она наносит обычный урон, более сильный или более слабый, но иногда урон усиливается в два или три раза, или ракета взрывается на стартовой площадке и причиняет вам вред, или происходит другое событие. В отличие от игрового поля со стрелкой в “Chutes & Ladders” или “A Game of Life” результаты игрового поля в “Nuclear War” неравновероятны. Некоторые секции игрового поля больше по размеру и стрелка останавливается на них гораздо чаще, в то время как другие секции очень маленькие и стрелка останавливается на них редко.

Итак, на первый взгляд кость выглядит примерно следующим образом: 1, 1, 1, 2, 2, 3; мы уже говорили о ней, она представляет собой что-то вроде утяжеленной 1d3, следовательно, нам нужно разделить все эти секции на равные части, найти самую маленькую единицу измерения, которой всё кратно и затем представить ситуацию в виде d522 (или какой-то другой), где множество граней игральной кости будет отображать ту же ситуацию, но с большим количеством исходов. И это один из способов решения задачи, и он технически выполним, но есть более простой способ.

Давайте вернемся к нашей стандартной шестигранной игральной кости. Мы говорили, что для того, чтобы посчитать среднее значение броска для нормальной игральной кости, нужно суммировать значения на всех гранях и разделить их на количество граней, но как именно происходит расчёт? Можно выразить это иначе. Для шестигранной игральной кости вероятность выпадения каждой грани равна точно 1/6. Теперь мы умножаем исход каждой грани на вероятность этого исхода (в данном случае 1/6 для каждой грани), затем суммируем полученные значения. Таким образом, суммируя (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), получаем тот же результат (3,5), как и при расчёте выше. На самом деле мы считаем так каждый раз: умножаем каждый исход на вероятность этого исхода.

Можем ли мы произвести такой же расчёт для стрелки на игровом поле в игре “Nuclear War”? Конечно, можем. И если мы суммируем все найденные результаты, то получим среднее значение. Всё, что нам нужно сделать, это вычислить вероятность каждого исхода для стрелки на игровом поле и умножить на исход.

Другой пример

Этот метод расчёта среднего значения, путем умножения каждого результата на его индивидуальную вероятность, также подходит, если результаты равновероятны, но имеют разные преимущества, например, если вы бросаете игральную кость и выигрываете больше при выпадении одних граней, чем других. Например, возьмем игру, которая бывает в казино: вы делаете ставку и бросаете 2d6. Если выпадут три числа с наименьшим значением (2, 3, 4) или четыре числа с высоким значением (9, 10, 11, 12), вы выиграете сумму, равную вашей ставке. Особенными являются числа с самым низким и самым высоким значением: если выпадет 2 или 12, вы выиграете в два раза больше, чем ваша ставка. Если выпадет любое другое число (5, 6, 7, 8), вы проиграете вашу ставку. Это довольно простая игра. Но какова вероятность выигрыша?

Начнем с того, что посчитаем, сколько раз вы можете выиграть:

• Максимальное число исходов при бросании 2к6 составляет 36. Каково количество благоприятных исходов?

• Есть 1 вариант того, что выпадет два и 1 вариант того, что выпадет двенадцать.

• Есть 2 варианта того, что выпадет три и одиннадцать.

• Есть 3 варианта того, что выпадет четыре и 3 варианта того, что выпадет десять.

• Есть 4 варианта того, что выпадет девять.

• Просуммировав все варианты, получаем число благоприятных исходов 16 из 36.

Таким образом, при нормальных условиях вы выиграете 16 раз из 36 возможных… вероятность выигрыша немного меньше чем 50%.

Но в двух случаях из этих 16 вы выиграете в два раза больше, т.е. это как выиграть дважды! Если вы будете играть в эту игру 36 раз, делая ставку в $1 каждый раз, и каждый из всех возможных исходов выпадет один раз, вы выиграете в сумме $18 (на самом деле вы выиграете 16 раз, но два раза из них будут считаться как два выигрыша). Если вы играете 36 раз и выигрываете $18, не значит ли это, что это равная вероятность?

Не торопитесь. Если вы посчитаете количество раз, когда вы можете проиграть, то у вас получится 20, не 18. Если вы будете играть 36 раз, делая каждый раз ставку в $1, вы выиграете общую сумму в $18 при выпадении всех благоприятных исходов… но вы проиграете общую сумму в $20 при выпадении всех 20 неблагоприятных исходов! В результате, вы будете немного отставать: вы теряете в среднем $2 нетто за каждые 36 игр (вы также можете сказать, что вы теряете в среднем 1/18 доллара в день). Теперь вы видите, как легко в данном случае допустить ошибку и посчитать вероятность неправильно!