Как объединить независимые испытания

Если вы спросите о нескольких повторяющихся, но независимых испытаниях, то исход одного броска не влияет на исходы других бросков. Есть ещё одно более простое объяснение данной ситуации.

Как различить что-либо зависимое и независимое? В принципе, если вы можете выделить каждый бросок игральной кости (или серию бросков) как отдельное событие, то он независим. Например, мы хотим, чтобы выпала сумма равная 15, бросая 8к6, данный случай не может быть разделен на несколько независимых бросков игральных костей. Так как для результата вы считаете сумму значений всех игральных костей, результат, который выпал на одной игральной кости, влияет на результаты, которые должны выпасть на других игральных костях, потому что только суммируя все значения, вы получите требуемый результат.

Вот пример независимых бросков: перед вами игра с игральными костями, и вы несколько раз бросаете шестигранные кости. Чтобы остаться в игре, при первом броске вам должно выпасть число 2 или значение выше. Для второго броска — 3 или значение выше. Для третьего требуется 4 или выше, четвертого — 5 или выше, пятого — 6. Если все пять бросков успешные, вы выиграли. В данном случае все броски независимы. Да, если один бросок будет неудачным, он повлияет на результат всей игры, но один бросок не влияет на другой бросок. Например, если ваш второй бросок игральных костей очень удачный, это никак не влияет на вероятность того, что следующие броски будут такими же удачными. Поэтому мы можем рассматривать вероятность каждого броска игральных костей отдельно.

Если у вас отдельные, независимые вероятности и вы хотите знать, какова вероятность того, что все события наступят, вы определяете каждую индивидуальную вероятность и перемножаете их. Другой способ: если вы используете союз “и”, чтобы описать несколько условий (например, какова вероятность наступления какого-то случайного события и какого-то другого независимого случайного события?), посчитайте отдельные вероятности и перемножьте их.

Не важно, что вы считаете, никогда не суммируйте независимые вероятности. Это распространённая ошибка. Чтобы понять, почему это неправильно, представьте себе ситуацию, когда вы подбрасываете монету 50/50, вы хотите знать, какова вероятность того, что два раза подряд выпадет “орёл”. Вероятность выпадения каждой из сторон 50%, поэтому если вы суммируете эти две вероятности, вы получите 100% шанс того, что выпадет “орёл”, но мы знаем, что это не правда, потому что два раза подряд могла бы выпасть “решка”. Если вместо этого вы умножите эти две вероятности, у вас получится 50%*50% = 25%, и это правильный ответ для расчёта вероятности выпадения “орла” два раза подряд.

Пример

Давайте вернёмся к игре с шестигранной игральной костью, где нужно, чтобы сначала выпало число выше чем 2, затем выше чем 3 и т.д. до 6. Каковы шансы того, что в данной серии 5 бросаний все исходы будут благоприятными?

Как говорилось выше, это независимые испытания, и поэтому мы подсчитываем вероятность для каждого отдельного броска, а затем умножаем их. Вероятность того, что исход первого броска будет благоприятным, равна 5/6. Второго — 4/6. Третьего — 3/6. Четвертого — 2/6, пятого — 1/6. Умножаем все эти результаты и получаем примерно 1,5%… Таким образом, победа в данной игре бывает довольно редко, поэтому если вы добавите этот элемент в вашу игру, вам нужен будет довольно большой джекпот.