Розв’язання

Енергія кожного фотона дорівнює Е = Н\. Тому й формулу Планка в цій задачі зручніше використати у вигляді залеж­ності інтенсивності випромінювання від частоти:

Щоб знайти середню енергію фотонів, які випромінюються за даної температури, треба обчислити кількість цієї енергії в одиниці об'єму (густину енергії випромінювання) і поділити її на кількість фотонів в одиниці об'єму (їхню концентрацію). Формула Планка дає енергію, що випромінюється в одиничний тілесний кут. Це значить, що треба величину В (Т) помножити на 4ге — величину повного ті­лесного кута. Одиничну відстань фотони проходять за час, що дорівнює 1/с, де с — швидкість світла. Таким чином, повна густина енергії випромінювання на всіх частотах до­рівнює:

Для того щоб визначити концентрацію фотонів, слід спочатку знайти число фотонів із даною частотою v поді­ливши їхню повну енергію Д, (Т) на енергію одного фото­на йу , потім скласти всі ці числа (проінтегрувати за часто­тою). У результаті концентрація фотонів є такою:

Якщо в обох одержаних інтегралах замість В_Ч(Т] підставити його вираз І замінити в них на х, то, ураховуючи, що сіх = , одержимо:

ЬТ

Поділивши першу рівність на другу, знайдемо, що се­редня енергія фотонів дорівнює: Е - АНТ, де коефіцієнт А дорівнює відношенню інтегралів у попередніх різностях. Для спрощення цих інтегралів відкинемо в знаменниках надінтегральних виразів одиниці. За значень змінної х, значно більших від 1, це не спричиняє помітної похибки. Якщо х є близьким до 1, у самих підінтегральних виразах похибка буде відчутною, а у відношенні інтегралів вона значно змен­шиться. Тепер

Якщо подивитися в будь-який математичний довідник, у якому є таблиці інтегралів (а саме так зазвичай і роблять фізики та астрономи), побачимо, що

де п! (факторіал п) означає добуток усіх цілих чисел від 1 до п. Звідси випливає, що коефіцієнт А дорівнює 3 (точ­не ж його значення дорівнює 2,70). Зауважимо, що ці інте­грали не так вже важко знайти й без допомоги таблиць: для цього достатньо проінтегрувати перший із них за частинами тричі, а другий — двічі.

Обчислюючи тепер середню енергію фотонів сонячного випромінювання (Т = 5800 К), знаходимо, що вона дорів­нює: Е = 2,2-10'¹² Дж = 1,4 ев. Це означає, що певна кіль­кість сонячних фотонів має енергію в кілька електрон-вольт. Саме таку енергію мають електрони в атомах і молекулах, а значить, і енергії хімічних, а відтак і біохімічних процесів. З цим і пов'язане зроблене в умові задачі твердження про Сонце як джерело життя на Землі.

12. Середня густина речовини у Всесвіті становить приблиз­но 8-Ю'³⁰ г/см³. Чого у Всесвіті більше: нуклонів (прото­нів і нейтронів, разом узятих) чи квантів електромагнітного випромінювання — фотонів?

Розв’язання

Для того щоб відповісти на поставлене питання, слід зна­йти середні концентрації нуклонів і фотонів у Всесвіті. Кон­центрація нуклонів знаходиться діленням середньої густи­ни речовини (а Це р « 8 • 1СГ³⁰ г/см³) на масу одного нуклона:

п_п = -*— = 5 • 1(Г⁵ нуклонів/см⁸.

^т»

Для визначення концентрації фотонів треба скориста­тися результатами попередньої задачі, з яких випливає, що ця концентрація, що дорівнює повній густині енергії випро­мінювання, поділеній на середню енергію одного фотона, становить:

Але яке ж значення температури треба взяти? Відомо, що весь Всесвіт рівномірно заповнений так званим релік­товим випромінюванням — фотонами, що залишилися від минулих епох еволюції Всесвіту. Що ж до випромінювання зір, то його густина спадає обернено пропорційно відстані від зорі, і тому його внесок в середню густину випроміню­вання нехтовно малий. Температура реліктового випромі­нювання зараз дуже невелика — усього 2,7 К. Це значення температури дає концентрацію фотонів, яка дорівнює приблизно 400 фотонам у кубічних сантиметрах. Таким чином, виявляється, що число фотонів у Всесвіті приблизно в сто мільйонів разів більше від числа нуклонів.

Результат може видатися несподіваним і дивним. Але дивним насправді є те, що у Всесвіті взагалі існує така від­носно мала кількість нуклонів. Річ у тому, що, розширюю­чись, наш Всесвіт остигає. Коли в минулому температура Всесвіту була значно більшою від енергії спокою нуклонів (1,3 ГеВ), то нуклони й антинуклони перебували в стані тер­модинамічної рівноваги та існували в однакових кількос­тях. Коли ж температура стала меншою від енергії спокою нуклонів, то мала відбутися анігіляція нуклонів та анти-нуклонів. Чому ж певна кількість нуклонів збереглася? Це питання баріонної асиметрії Всесвіту. Одну з можливих відповідей на це питання дав академік А. Д. Сахаров. Виявляється, що швидкості реакцій перетворення пари «ну­клон — антинуклон» на два гамма-кванти та оберненої ре­акції утворення такої пари з двох гамма-квантів трохи різні. І цього « трохи » вистачило для того, щоб залишилася та кіль­кість нуклонів, із яких складаємося і ми самі, і весь навко­лишній світ. Згідно із законом збереження електричного за: ряду, під час анігіляції електронів і позитронів залишилася й кількість електронів, що дорівнює кількості протонів.