Розв’язання

Час досягнення Південного полюса снарядом-супутником Землі визначається як половина періоду його обертання на­вколо Землі. Щоб знайти цей час, треба довжину півкола я/2, (Д, — радіус Землі) поділити на першу космічну швид­кість:

Одержимо, що час

Зауважимо, що формулу для першої космічної швидко­сті нескладно отримати, якщо дорівняти прискорення віль­ного падіння, яке визначається згідно із законом всесвітнього тяжіння як ,

доцентровому прискоренню

Час руху снаряда в шахті визначити складніше. Річ у тому, що в кожний момент він притягується лише тією частиною маси Землі, яка міститься всередині сфери, що проходить через миттєве положення снаряда. Тому першу половину свого шляху снаряд, проходить, рухаючись при­скорено, але величина прискорення зменшується до нуля в центрі Землі. Закон цього зменшення залежить від змінення величини маси, яка притягує снаряд, а остання, у свою чергу, залежить від закону зміни густини Землі вздовж її радіуса. Але можна відповісти на питання задачі, якщо роз­глянути прості граничні випадки розподілу густини в пла­неті, поміж якими знаходиться цей розподіл для реальної Землі.

Випадок1. Однорідна планета (модель Ньютона) —гус­тина не залежить від відстані до її центра. Тоді на відстані r від центра маса, що притягує снаряд, дорівнює

а прискорення снаряда дорівнює відповідно

Знак «-» указує на те, що радіус-вектор і вектор приско­рення протилежно спрямовані. Але вираз для прискорення показує, що воно за величиною є пропорційним відстані до центра, тобто ми маємо тут справу з таким же законом для сили, як у випадку пружних коливань. Це значить, що півперіод коливання (час, який нам і треба визначити), можна знайти за аналогією до формули для півперіоду малих коли­вань маятника:

де L — довжина маятника, а g — прискорення вільного па­діння на поверхні Землі. Прискорення ж маятника

де r— відхилення маятника від положення рівноваги в го­ризонтальному напрямку. Порівнюючи вирази для приско­рень маятника та нашого снаряда, одержимо, що час руху останнього

Цікаво, що цей час збігається з часом руху супутника попівколу.

Випадок 2. Уся маса планети зосереджена в її центрі (ду­же мале важке ядро й дуже легка оболонка, модель Гюйгенса). У цьому разі потрібний час можна знайти двома шляхами. Перший — це інтегрувати від 0 до R3 рівняння прямолінійного руху з прискоренням а = ; другий —

розглянути прямолінійний рух снаряда від поверхні до цен­тра Землі як рух за граничне стисненим еліпсом з ексцен­триситетом, що дорівнює 1. Те ж стосується й руху снаряда від центра до Південного полюса. Тоді, за третім законом Кеплера, повний час руху снаряда дорівнюватиме періоду

руху за еліпсом із великою піввіссю —-5- та відрізнятиметься від випадків множником Тож ми отримаємо, що час

Час руху снаряда в реальній Землі задовольнятиме не­рівність Т_2Ь<Т_г<Т_га і буде меншим від часу руху снаряда-супутника за коловою орбітою.

Стан невагомості в снаряді, що рухається в шахті, зви­чайно, буде, бо вага,— це реакція опори, а за будь-якого вільного руху ця реакція відсутня. До Південного полюса снаряд у шахті прийде з нульовою швидкістю. У першому випадку це випливає з аналогії з маятником, а в загальному випадку — із симетрії задачі відносно центра Землі.

Корисно звернути увагу учнів на те, що прийом, засто­сований у цій задачі,— знаходження меж, у яких лежить відшукувана величина,—є досить типовим для фізики й аст­рономії.

7. На орбітальній Станції космонавти вирішили зустріти Но­вий рік вечерею при свічках. Скільки часу буде горіти на станції свічка, якщо на Землі вона згоряє за 3 години?