1. З усієї речовини Землі виготовлено дроти завдовжки:

а) до Сонця;

б) до найближчої до Сонця зорі а Центавра;

в) до Ту­манності Андромеди.

Знайдіть діаметри цих дротів.

Розв’язання

Згадаємо, що об'єм кулі (Землі) дорівнює

V=

а об'єм циліндра (дроту) – V=

де L, — довжина циліндра, а d — його діаметр. Рівняючи ці об'єми, одержимо, що діаметр дроту становить

d=4

Підставляючи в одержану формулу значення відста­ней від Землі до Сонця (1,5-Ю⁸ км), до зорі а Центавра (І,3-пк = 1,3-3,1-10¹³ км) і до Туманності Андромеди (7-Ю⁸ пк), знайдемо, що діаметри дротів дорівнюють 100 км, 200 м і 25 см відповідно. Задача справді нескладна, але результат дивний: дроти виявилися несподівано товсти­ми. Справа тут у різній залежності об'єму від діаметра — у кубічній для кулі та квадратичній для циліндра, а підко­реневий вираз у формулі для діаметра дроту залежить від куба радіуса Землі та першого степеня довжини дроту.

Ця задача наочно демонструє вплив показника степеня на залежність результату від певного параметра й водночас дозволяє порівняти значення трьох характерних відстаней у Всесвіті, її автор — відомий астрофізик-теоретик акаде­мік В. В. Соболєв.

2. Мандрівник випадково опинився в одній із полярних зон Землі. Погода вночі стоїть ясна, але він не знає зоряного не­ба. Як йому дізнатися про те, у якій півкулі Землі він зна­ходиться?

Розв’язання

Справжній мандрівник мусить уміти використовувати не­бесні явища для орієнтування в просторі та часі. Але при­пустімо, що наш мандрівник не практик, а теоретик. Тому він не знає зоряного неба, однак знає, який полюс планети є північним, а який південним. Визначити це можна в такий спосіб: з Північного полюса світу добове обертання планети виглядає як таке, що відбувається проти ходу годиннико­вої стрілки. Тому обертання небесної сфери для спостеріга­ча, який знаходиться у Північній півкулі планети, відбу­вається за годинниковою стрілкою, тобто зі сходу на захід. А в Південній півкулі це обертання, навпаки, виглядає як таке, що відбувається із заходу на схід. При цьому різниця в обертанні небесної сфери найбільш виразно виявляється саме в полярних зонах. Тому, спостерігаючи деякий час за переміщенням зір у їхньому Добовому русі, мандрівник мо­же визначити, на яку півкулю Землі він потрапив.

Звичайно, для Землі така ситуація з її полюсами скла­лася історично. Це правило визначення назв

полюсів за­стосовується й щодо інших планет, точніше до тих, у яких осьове обертання відбувається в тому

ж напрямку, що й рух за орбітою (таке обертання має назву прямого). Винятками з цього правила е Венера та

Уран, які мають обернене осьове обертання. Для Венери це е наслідком припливного гальму­вання її обертання

Сонцем і Землею. Що ж до Урана, то вісь його обертання, на відміну від решти планет, є близькою за

напрямком до площини його орбіти. Це, мабуть, наслідок якоїсь катастрофічної події.

3. 22 вересня о 15 годині за місцевим часом тінь від середньої вертикальної рами вікна падає

перпендикулярно до площи­ни вікна. З'ясуйте, як зорієнтоване це вікно відносно сто­рін світу.

Розв’язання

3. Насамперед з'ясуємо, про який саме місцевий час ідеться ¹ в умові задачі. Якщо, указуючи час події, не уточнюють, про який саме час ідеться, то мають на увазі місцевий серед­ній сонячний час. Однак зрозуміло, що напрямок тіні ви­значається істинним сонячним часом, тобто положенням реального, а не середнього Сонця. Але найбільша різни­ця між істинним і середнім сонячним часом не перевищує 20 хв. Із цього випливає, що, нехтуючи різницю між цими двома способами вимірювання часу, ми зробимо похибку, яка не перевищує 5°. Тобто, висловлюючись мовою моря­ків, ми будемо шукати розв'язання нашої задачі з точністю до половини румба (румб — це кут, який дорівнює 1/32 по­вного кута, або приблизно 11°).

Дата, наведена в умові задачі, близька до моменту осін­нього рівнодення, тобто схилення Сонця близьке до 0°. Інакше кажучи, вважатимемо, що Сонце знаходиться на небесному екваторі. Аналіз місцевого часу дозволяє визна­чити годинний кут Сонця. Оскільки початок сонячної доби збігається з нижньою кульмінацією Сонця, то о 15 годині його годинний кут і дорівнює .3*, або 45°. А для того щоб визначити орієнтацію вікна, нам треба встановити азимут Сонця А в даний момент. Годинний кут відлічується вздовж небесного екватора, азимут — уздовж математичного гори­зонту. У свою чергу, те, як розташовані відносно один одно­го небесний екватор і математичний горизонт, залежить від широти місця; де ми знаходимося. Із відповідних визначень випливає, що кут між площинами цих великих кіл на не­бесній сфері доповнює широту місця спостереження до 90°. Тому на екваторі Землі небесний екватор розташований вер­тикально, але він завжди проходить через точки сходу та заходу. Отже, тінь від рами буде спрямована на схід, а вікно буде зорієнтоване на захід. Якщо ж ми даближатимемося до полюса, то кут між небесним екватором і горизонтом зменшуватиметься, наближаючись до нуля. Відповідно го­динний кут та азимут зближуватимуться, тобто значення азимута буде наближатися до 45° .Орієнтація вікна* набли­жатиметься до напрямку на південний захід. Зрозуміло, що на проміжних (помірних) широтах орієнтація вікна перебу­ватиме десь поміж заходом і південним заходом.

Вище було подано розв'язання задачі на якісному рів­ні, для якого достатньо було лише визначень відповідних основних ліній на небесній сфері та координат в горизон­тальній та першій екваторіальній системах координат. Для кількісного ж розв'язання задачі потрібні вже дві основні формули сферичної тригонометрії -^ формули косинусів і синусів. Слід розглянути так званий паралактичний три­кутник 2Р8: «зеніт» — «полюс світу» — «світило» (у да­ному разі Сонце). Його сторони: 2Р — доповнення широти місця спостереження до 90°, Р8 — доповнення схилення до 90° і 28 — зенітна відстань, кут при вершиш 2 доповнює азимут до 180°, а кут при вершиш Р — це годинний кут. То­му формула косинусів (яка, до речі, може бути одержана як скалярний добуток відповідних одиничних векторів) з ура­хуванням того, що схилення дорівнює 0, дає:

де <р — географічна широта. А формула синусів (що при­родно узагальнює формулу синусів плоскої тригонометрії) дасть значення синуса азимута:

Виконавши обчислення, наприклад для широти 50°,одержимо значення азимута Сонця А = 52,5°. Відразуж за­уважимо, що чверть, у якій лежить значення азимута, ми вже фактично визначили на попередньому етапі розв'язан­ня задачі. У загальному ж випадку треба за відповідною формулою обчислити ще й косинус азимута, а потім, аналі­зуючи знаки синуса та косинуса азимута, визначити, у якій чверті знаходиться його значення. Нарешті, відзначимо ще таке. По-перше, широта 50° —це широта Харкова. Але більшість обласних центрів Украї­ни розташовані в широтній зоні 50° ±2°. Тому, ураховуючи сказане про точність нашого розв'язання, відповідь стосу­ється й цих міст. Для одержання точнішої відповіді треба, врахувати точніше значення їхньої широти та значення рів­няння часу в день 22 вересня. По-друге, хоча розглядалася широта, близька до середньої між широтами екватора та по­люса, значення азимута тіні ще мало відрізняється від 45°.

4. Приблизно за добу після хромосферного спалаху на Сонці виникає збурення магнітного поля Землі. Зробіть оцінку енергії протонів сонячного вітру, що викликають це збурен­ня. Відповідь дати в електрон-вольтах.