4. Методы расчета сложных цепей постоянного тока

Пусть электрическая цепь состоит из p ветвей и имеет q узлов.

Применение законов Кирхгофа

Прежде всего, устанавливается число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (p). Для каждой ветви задаются положительным направлением для тока.

Число n₁ независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы

n₁ = q – 1.

Число n₂ независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу ячеек (контуров)

n₂ = p – q + 1.

Общее число уравнений n, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов

n = n₁ + n₂ = p.

Решение этой системы уравнений дает значения искомых токов.

Пример — в задаче 29.

Метод контурных токов (МКТ, Максвелла).

Число n независимых контуров цепи равно числу уравнений по второму закону Кирхгофа

n = n₂ = p – q + 1.

Расчет цепи методом контурных токов, состоящей из n независимых контуров, сводится к решению системы из n уравнений, составляемых для контурных токов I₁₁, I₂₂, …, I_nn; ток в каждой ветви находится как алгебраическая сумма контурных токов, обтекающих эту ветвь.

Выбор направлений контурных токов произволен. Каждая из ветвей сложной электрической цепи должна войти хотя бы в один контур.

Система уравнений МКТ для n контурных токов имеет вид

r11⋅I11+r12⋅I22+…+r1n⋅Inn=E11;

r21⋅I11+r22⋅I22+…+r2n⋅Inn=E22;

……………………………………

rn1⋅I11+rn2⋅I22+…+rnn⋅Inn=Enn. (10)

Здесь r_kk – собственное сопротивление контура k (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контурk), r_kl – общее сопротивление контуров k и l, причем r_kl = r_lk; если направления контурных токов в ветви, общей для контуров k и l, совпадают, то r_kl положительно (r_kl > 0), в противном случае r_kl – отрицательно (r_kl < 0); E_kk – алгебраическая сумма э.д.с., включенных в ветви, образующие контур k.

Пример – в задаче 41.

Метод узловых потенциалов (МУП)

Число n независимых узлов цепи равно числу уравнений по первому закону Кирхгофа

n = n₁ = q – 1.

Для определения потенциалов всех узлов электрической схемы, имеющей q узлов, следует принять потенциал одного из узлов равным нулю, а для определения потенциалов остальных n = q – 1 узлов составляется следующая система уравнений

φ1⋅g11+φ2⋅g12+…+φn⋅g1n=∑1Eg;

φ1⋅g21+φ2⋅g22+…+φn⋅g2n=∑2Eg;

……………………………………..

φ1⋅gn1+φ2⋅gn2+…+φn⋅gnn=∑nEg. (11)

Здесь g_ss – сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; g_sq – сумма проводимостей, соединяющих узел s с узлом q; – алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, примыкающих к узлуs, на их проводимости (т.е. токов короткого замыкания этих ветвей); при этом со знаком плюс берутся те из произведений Eg, в ветвях которых э.д.с. действуют в направлении узла s, и со знаком минус – в направлении от узла.

Определив потенциалы узлов, находят токи в ветвях посредством закона Ома.

Этим методом рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений здесь будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Примеры – в задачах 44 и 45.

Метод наложения

Ток в любой ветви может быть рассчитан как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней каждой э.д.с. в отдельности. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет для какой-либо одной действующей э.д.с., то вместо остальных источников должны быть включены сопротивления, равные внутренним сопротивлениям этих источников.

Примеры – в задачах 47 и 49.

Метод эквивалентных преобразований

Во всех случаях применения метода эквивалентных преобразований замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

1) Замена последовательных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления последовательны, если они обтекаются одним и тем же током. Например, на схеме цепи, изображенной на рис. 2, сопротивления r₁, r₂ и r₉ соединены последовательно; так же последовательны сопротивления r₇ и r₈.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных участков, равно сумме этих сопротивлений этих участков

rэ=r1+r2+…+rn=∑k=1nrk.rэ=r1+r2+…+rn=∑k=1nrk.   (12)

2) Замена параллельных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления параллельны, если все они присоединены к одной паре узлов. Например (рис. 2), сопротивления r₄₅ = r₄ + r₅ и r₁₀параллельны.

Эквивалентная проводимость цепи, состоящей из n параллельно соединенных ветвей равна сумме этих проводимостей этих ветвей. Эквивалентное сопротивление такой цепи находится как величина обратная эквивалентной проводимости этой цепи

1rэ=1r1+1r2+…+1rn=∑k=1n1rk.1rэ=1r1+1r2+…+1rn=∑k=1n1rk.   (13)

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений r₁ и r₂ эквивалентное сопротивление

rэ=r1⋅r2r1+r2.rэ=r1⋅r2r1+r2.   (14)

3) Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение – это сочетание последовательного и параллельного соединения сопротивлений. Например, сопротивленияr₁, r₂ и r₃ (рис. 3) находятся в смешанном соединении. Их эквивалентное сопротивление равно

rэ=r1+r2,3=r1+r2⋅r3r2+r3.rэ=r1+r2,3=r1+r2⋅r3r2+r3.   (15)

При смешанном соединении сопротивлений токи ветвей цепи (рис. 3):

по закону Ома

I1=Urэ,I1=Urэ,   (16)

по формуле разброса токов (делителя токов)

I2=I1⋅r3r2+r3,     I3=I1⋅r2r2+r3.I2=I1⋅r3r2+r3,     I3=I1⋅r2r2+r3.

4) Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 4, а) в эквивалентную звездусопротивлений (рис. 4, б) и наоборот имеют вид

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪r1=r12⋅r31r12+r23+r31;r2=r23⋅r12r12+r23+r31;r3=r31⋅r23r12+r23+r31,{r1=r12⋅r31r12+r23+r31;r2=r23⋅r12r12+r23+r31;r3=r31⋅r23r12+r23+r31,   (17)

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪g12=g1⋅g2g1+g2+g3;g23=g2⋅g3g1+g2+g3;g31=g3⋅g1g1+g2+g3,{g12=g1⋅g2g1+g2+g3;g23=g2⋅g3g1+g2+g3;g31=g3⋅g1g1+g2+g3,   (18)

где g – проводимость соответствующей ветви.

Формулы (18) можно записать через сопротивления так

r12=r1+r2+r1⋅r2r3;   r23=r2+r3+r2⋅r3r1;   r31=r3+r1+r3⋅r1r2.r12=r1+r2+r1⋅r2r3;   r23=r2+r3+r2⋅r3r1;   r31=r3+r1+r3⋅r1r2.   (19)

Пример – в задаче 51.

Метод эквивалентного генератора напряжения (метод холостого хода и короткого замыкания или метод активного двухполюсника)

Для нахождения тока I в ветви ab, сопротивление которой r (рис. 5, а, буква А на рисунке обозначает активный двухполюсник), надо разомкнуть эту ветвь и при этом найти (любым способом) разность потенциалов на зажимах разомкнутой ветви – U_х (рис. 5, б). Затем надо вычислить сопротивление короткого замыкания r_к, равное эквивалентному сопротивлению всей остальной цепи, вычисленному в предположении, что в ней отсутствуют э.д.с. (при этом внутренние сопротивления источников сохраняются) и что она питается от постороннего источника, присоединенного непосредственно к зажимам a и b (рис. 5, в; буква П на рисунке обозначает пассивный двухполюсник).

Сопротивление r_к может быть вычислено либо непосредственно по схеме рис. 5, в, либо из соотношения

rк=UхIк,rк=UхIк,   (20)

где I_к – ток короткого замыкания, протекающий по ветви ab, если ее сопротивление r сделать равным нулю (рис. 5, г).

Заданная схема (рис. 5, а) может быть заменена эквивалентным генератором напряжения с э.д.с. E = U_хи внутренним сопротивлением r_э = r_к, присоединенным к зажимам ab сопротивления r (рис. 5, д).

Ток в искомой ветви, имеющей сопротивление r, определяется из формулы закона Ома

I=Uхr+rк.I=Uхr+rк.   (21)

Примеры – в задачах 55 и 56.

Метод эквивалентного генератора тока

В предыдущем пункте показано, как в любой сложной цепи можно получить эквивалентный генератор напряжения с э.д.с. E и внутренним сопротивлением r_к. Этот генератор напряжения (рис. 5, д) на основании формул (1) может быть заменен эквивалентным генератором тока (рис. 1, б) по формулам

Iк=Uхrк,    g0=1rк.Iк=Uхrк,    g0=1rк.   (22)

где I_к – ток эквивалентного генератора тока, равный току короткого замыкания в той ветви, по отношению к которой производится эквивалентное преобразование всей остальной части цепи, g₀ – внутренняя проводимость, равная эквивалентной проводимости всей остальной цепи между зажимамиab, к которым присоединен приемник энергии, в предположении, что э.д.с. всех генераторов равны нулю.

Пример – в задаче 65.

Метод замены нескольких параллельных генераторов напряжения одним эквивалентным

Если имеется несколько генераторов напряжения с э.д.с. E₁, E₂, …, E_n и внутренними сопротивлениями r₁,r₂, …, r_n, работающие параллельно на общее сопротивление нагрузки r (рис. 6, а), то они могут быть заменены одним эквивалентным генератором напряжений, э.д.с. которого E_э, а внутреннее сопротивление r_э (рис. 6, б),

при этом

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Eэ=∑k=1nEkgk∑k=1ngk;1rэ=1r1+1r2+…+1rn;     gk=1rk.{Eэ=∑k=1nEkgk∑k=1ngk;1rэ=1r1+1r2+…+1rn;     gk=1rk.   (23)

Ток в сопротивлении r определится по формуле

I=Eэr+rэ.I=Eэr+rэ.   (24)

Ток в каждой из ветвей находится по формуле

Ik=Ek−Urk,Ik=Ek−Urk,   (25)

где U = I·r.

Пример – в задаче 60.

Метод замены параллельно соединенных генераторов тока одним эквивалентным

Если несколько генераторов тока с токами I_k1, I_k2, …, I_kn и внутренними проводимостями g₁, g₂, …, g_nсоединены параллельно (рис. 7, а) и работают на общий приемник энергии с проводимостью gто они могут быть заменены одним эквивалентным генератором тока (рис. 7, б), ток которого I_k равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость равна сумме внутренних проводимостей отдельных генераторов

Ik=Ik1+Ik2−Ik3+…=∑m=1nIkm,Ik=Ik1+Ik2−Ik3+…=∑m=1nIkm,   (26)

gэ=g1+g2+g3+…=∑m=1ngm.gэ=g1+g2+g3+…=∑m=1ngm.   (27)