Тема 1_неопределенные интегралы
.pdf1.ex 34exdx
2. |
tgx |
dx |
||
|
||||
|
cos2 x |
|
|
|
3. |
1 x2 |
x |
||
|
|
dx |
||
1 x4 |
|
2
4. dx x2 5
5. |
|
|
|
x |
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
10 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
(4 3x)e 3xdx |
|
|
|
||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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8. |
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|
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9. |
|
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|
x 2 |
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 (x |
2 |
|
|
2)3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
10.x2 8 dx
x4
1
11. dx cos3 xsinx
12. |
1 |
dx |
|
33cosx
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
dx |
|||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x6 |
7 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
3. |
|
|
arcsin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 x2 |
||||||||||
4. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
|
|
3x 2 |
dx |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.
8. |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
dx |
||||
|
|
|
|||||
9. |
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x(1 x) |
|||||
10. |
|
x4 |
|||||
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
||||
|
1 x2 |
||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
12. dx
3sinx 2cosx
41
1.
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
||
4. |
|
3 |
|
|
dx |
|||||
|
x2 |
8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6.(3x4)e3xdx
7.
8. |
|
|
5x 8 |
|
dx |
|||||
|
x3 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
4x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
9. |
|
|
x |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x3 |
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||
10. |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4x 11. sin4 2x dx
1
12. dx
53cosx
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
1 x2 |
|
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 x2 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4x 1 dx
x2 1
6.
7.
8.
9.
10.x2 1 dx
x2
11. |
sin3 x |
|
dx |
|
|
|
|
||
|
|
cosx
1
12. dx
53cosx
42
2x 1
1.
2.
2
2
3.
2
1
4. dx x2 2x 8
12x
5. dx
2 3
6.
7.
8.
9. |
|
1 |
3 x |
1 |
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
1 |
3 x 1 |
|||||||
|
|
|
|
10.x2 9 dx
x4
1
11. dx sin4 xcos2 x
12.
1.
2.
3. |
x2 |
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 x2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
|
|
3x 2 |
|
dx |
|||||||||||||||
x2 |
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. |
(5x 2)e3xdx |
|||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 4 x3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 1 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. |
sin x cosx |
|
dx |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cos4 x 5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12. |
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5cosx3
43
1.x3 x dx
x4 1
1
2.ex dx
x2
3.arctgx 3x dx 1 x2
4. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x2 |
5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|||||||
|
x2 |
|
|
4x |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
(1 6x)e2xdx |
|
|||||||||||||||
7. |
|
|
|
x3 |
2 3 |
dx |
|||||||||||
|
(x |
|
1)(x |
|
2)(x 3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(4 x2)5 |
|
|||||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 sin2 x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.
2.
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
4x |
|||||||
5. |
|
|
x 1 |
|
|
|
dx |
||
5x2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
||||||
6. |
xln(x2 |
|
1) dx |
||||||
7. |
|
|
3x3 |
|
2 1 |
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x 1) |
x2
8.(x1)2 dx2
3x
9. dx x( x 3 x)
10. |
|
x2 4 |
dx |
|||
|
x |
|||||
|
|
|
|
|||
11. |
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|||||
12. |
|
|||||
|
3sin2 x 5cos2 x |
44
1. |
|
4arctgx x |
dx |
|||
|
|
|
||||
|
|
1 x2 |
|
|
||
2. |
e x3 x2dx |
|
|
|||
3. |
x3 |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 x4 |
|
|
|||
4. |
|
|
2 |
|
dx |
|
4x2 |
|
|
5 |
|||
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
(4x 3)sin5x dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x 2) |
||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
x |
|
|
dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 x2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
|
9 x2 |
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x
11.
12. 1 dx
1 sin x
1. |
x |
cosx |
dx |
|||
x2 |
|
|
|
|||
|
2sinx |
|||||
2. |
|
x2 |
||||
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|||
|
x6 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
2
3.
2
1
4. dx x2 13
5. x 4 dx
2 |
2 |
|
6.
|
|
x3 3x2 12 |
|
7. |
|
|
dx |
(x |
|
||
|
4)(x 3)(x 2) |
8.
6 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 3 |
x |
|
|||||||||
10. |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 x2 |
|
||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
||||||
12. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5cosx
45
1.
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2. |
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
||||
3. |
|
|
|
lnx |
|
dx |
|||
x 1 ln2 |
|
||||||||
|
x |
||||||||
4. |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
x |
|
dx |
|
x2 |
|
4 |
|||
|
|
|
|
||
6. |
x2 arctgx dx |
||||
7. |
x3 |
3x2 |
12 |
dx |
|
(x |
4)(x |
|
|
||
|
|
3)x |
x2 4 8. x(x 1)2 dx
9. |
|
|
|
1 |
dx |
||||
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
e |
2 |
|
ex |
|
|
|
|
10. |
|
|
|
1 |
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
9 x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
4 |
2 |
|
3cos2 x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
2 |
|
dx |
||||||||||
2. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x2 |
10 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
|
|
2x 1 |
dx |
||||||||||
|
5x2 |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
(4x 3)e 2xdx |
||||||||||||||
7. |
|
|
4x3 |
2 |
2 |
|
|
|
dx |
||||||
|
x(x |
1)(x |
2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
x3 |
2 |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
9.
x2 5
10.x2 dx
11.1 tg x dx
|
|
sin2x |
|
12. |
1 |
dx |
|
|
1 3cos2 x |
46
1. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x4 |
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
(8cos |
x |
|
5)2 sin |
x |
dx |
||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
8x arctg2x |
dx |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 4x2 |
|
|
|
|||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
|
x 6 |
|
|
dx |
|
|
|
||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
|
|
|
|
|
3x2 |
4 |
|
|
|
dx |
|||||||
|
(x |
2 |
|
|
|
1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.14x dx
xx
10. |
|
x5 |
|||
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|||
|
1 x2 |
||||
11. |
tg7x dx |
||||
12. |
1 |
dx |
|||
4sin2 x 9cos2 x |
1.
2.ln x dx
x
2
3.
2
1
4. dx x2 3x 10
5. 5x 3 dx
2 |
5 |
|
6.(x2 3)lnxdx
7. |
x3 |
3x2 |
12 |
dx |
|
(x |
4)(x |
2)x |
|||
|
|
8.
9. |
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
(x |
3 |
|
||||
|
|
|
1 |
|
10.x2 4 dx x3
11. |
sin2x |
dx |
|
|
|||
|
cos7 x |
||
12. |
2 sinx |
dx |
|
|
|||
|
2 cosx |
47
1. |
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
dx |
||
(x3 |
|
1)5 |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
2. |
|
|
sin x |
|
dx |
|
|||||
4 cos2 |
|
|
|||||||||
|
x |
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
x2 |
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 x2 |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
x |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
4x 3 |
|
|
|
|
dx |
|||
x2 |
|
6 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
6.(5x6)cos2x dx
7.
8.
9. |
1 |
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
1 ex |
||||||||
10. |
|
x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(1 x2)5 |
|||||||
11. |
1 |
|
dx |
||||||
cos4 |
|
||||||||
|
x |
||||||||
12. |
|
|
1 |
|
|
dx |
|||
3sin2 x 2cos2 x |
1. |
8x arctg2x |
dx |
|||
|
|
|
|
||
|
|
1 4x2 |
|||
2. |
|
|
|
|
|
3. |
2 |
x 3 |
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
1 x2 |
1
4. dx x2 12
4x
5. dx
2 3
6.
7.
8.
1
9. dx
3 x(3 x 1)
1 |
|
|
dx |
|||
10. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
x3 x2 |
1 |
|||||
|
|
1
11. sin4x cos4x dx
12. |
1 |
dx |
|
2 cosx |
|||
|
|
48
1. |
4 ln2x |
dx |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
||
2. |
cosx |
dx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
sin2 x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3x2 |
||
3. |
4 1 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x2 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
4
4. dx x2 29
5. 3x 4 dx
2 |
8 |
|
6.xarcsin 1 dx x
7.
4
8.
3
9.
10.9 x2 dx
x2
11.
12. |
1 |
dx |
sin6 x cos6 x |
1.
x8
2.dx
x2 3
4
3.
2
1
4. dx x2 80
5. 8x 11 dx
2 |
5 |
|
6.xln(x2 1) dx
7.
8. |
x2 |
2 |
|
|
dx |
||||||||
(x2 |
|
|
|
|
|
1) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x(1 3 x) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
10. |
|
|
1 |
|
|
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x4 x2 3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
|
dx |
||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin |
4 x cos4 |
|
|
||||||||||
|
x |
49
1. |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos2x(3tg x 1) |
|||||||
2. |
|
x |
dx |
|
|
|
||
x4 |
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
4 |
|
|
|
||
|
|
x |
3. dx
1 x2
1
4. dx
9x2 2
5. |
2 5x |
|
dx |
|
4x2 |
2 |
|||
|
|
6.xln2x dx
7.
8.
9. |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 (2x |
2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
2
10.
3
11.sin4xcos5x dx
12.
4
1.
|
|
|
2 |
2. |
|
|
|
3. |
|
|
|
4. |
|
1 |
dx |
2 |
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
x
5. dx
9x2 2
6. |
(2 3x)cos4x dx |
||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
dx |
|||||
9. |
|
|
|
||||||
|
2 x |
||||||||
10. |
1 |
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x4 1 x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
11.sin4x dx cos2x
12. |
1 |
dx |
sin2 x 4cos2 x |
50