4. Временные ряды в эконометрике

4.1. Модели одновременных временных рядов.

4.1.1. Основные элементы временного ряда

Временным рядом называется последовательно расположенные в хронологическом порядке показатели, характеризующие развитие явления во времени.

Основными задачами эконометрического исследования временного ряда является:

1. прогнозирование будущих (недостающих) уровней динамического ряда;

2. изучение взаимосвязей двух и более временных рядов.

Временной ряд характеризуется двумя параметрами:

1. моментами времени (конкретными датами) или периодами (годы, кварталы, недели и т.д.), к которым относятся статистические данные.

2. непосредственно статистическими данными – уровнями временного ряда .

Величина уровня ряда определяется влиянием на него всех возможных факторов, которые подразделяют на следующие группы:

1. – факторы, формирующие основную тенденцию ряда (трендовую компоненту);

2. факторы, формирующие циклические колебания ряда (циклическую компоненту). Циклическая (периодическая) компонента может быть:

   • – конъюнктурная, связанная с большими экономическими циклами, компонента

   • – сезонная, связанная с внутригодовыми колебаниями, компонента.

3. – случайные факторы, отражают влияние множества факторов, не являющихся трендовыми и циклическими.

Уровень временного ряда будет функция от трендовой циклической и случайной компонент:

В зависимости от вида связи между этими компонентами модель может быть:

1. аддитивная (как сумма компонент)

2. мультипликативная (как произведение компонент)

4.1.2. Автокорреляция уровней временного ряда Выявление структуры динамического ряда

Естественно, что при наличии во временном ряду трендовой или циклической компоненты значение каждого последующего уровня будет зависеть от влияния предыдущих уровней.

Данная корреляционная зависимость между уровнями временного ряда называется автокорреляцией уровня временного ряда.

Автокорреляция уровней временного ряда - корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же временного ряда (сдвинутыми на определенный промежуток времени - лаг).

Количественно автокорреляцию определяют, рассчитывая коэффициент автокорреляции его можно рассчитать как:

(205)

или

(206)

где

(207)

(208)

Лаг временного ряда - сдвиг во времени на какое-то количество периодов. Шаг лага определяет порядок коэффициента автокорреляции, если:

• , получаем коэффициент автокорреляции 1-го порядка

• , получаем коэффициент автокорреляции 2-го порядка

• и т.д.

Последовательность коэффициентов 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков называется автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага - коррелограммой.

Рекомендованный максимальный порядок коэффициента автокорреляции можно найти как , где количество уровней временного ряда.

Для того чтобы, определить структуру временного ряда, необходимо найти лаг при котором коэффициент автокорреляции будет наибольшим.

1. Если наибольшим оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка , то временной ряд содержит только трендовую компоненту.

2. Если наибольшим оказался коэффициент автокорреляции более высокого прядка , то временной ряд содержит как трендовую компоненту, так и циклическую.

3. Если все коэффициенты автокорреляции не являются статистически значимыми, это может быть обусловлено двумя причинами:

   • взаимосвязь между уровнями временного ряда не является линейной

   • значение уровней временного ряда обусловлено только влиянием случайной компоненты , ряд не содержит ни трендовую ни циклическую компоненты.

Коэффициент автокорреляции имеет следующие важные свойства:

1. Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Если временной ряд имеет сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции будет приближаться к нулю.

2. Знак коэффициента автокорреляции не указывает на возрастающую или убывающую тенденцию временного ряда.

Пример 26. Имеются данные о товарообороте (млн. руб.) за 9 лет, (табл. 54). Рассчитать коэффициенты автокорреляции.

Таблица 54

1	28	-	-	-	-	-	-
2	29	28	-6,625	-5,875	38,9219	43,8906	34,5156
3	32	29	-3,625	-4,875	17,6719	13,1406	23,7656
4	32	32	-3,625	-1,875	6,7969	13,1406	3,5156
5	35	32	-0,625	-1,875	1,1719	0,3906	3,5156
6	36	35	0,375	1,125	0,4219	0,1406	1,2656
7	38	36	2,375	2,125	5,0469	5,6406	4,5156
8	41	38	5,375	4,125	22,1719	28,8906	17,0156
9	42	41	6,375	7,125	45,4219	40,6406	50,7656
В среднем при	35,6250	33,8750
Итого	313	271	0	0	137,625	145,875	138,875

Решение.

Рассчитаем коэффициент автокорреляции 1-го порядка ( ).

Коэффициент автокорреляции показывает тесную связь между товарооборотами текущего и предшествующих годов.

Рассчитаем коэффициент автокорреляции 2-го порядка ( ), (табл. 55).

Таблица 55

1	28	-	-	-	-	-	-
2	29	-	-	-	-	-	-
3	32	28	-4,5714	-4,8571	22,2037	20,8977	23,5914
4	32	29	-4,5714	-3,8571	17,6323	20,8977	14,8772
5	35	32	-1,5714	-0,8571	1,3468	2,4693	0,7346
6	36	32	-0,5714	-0,8571	0,4897	0,3265	0,7346
7	38	35	1,4286	2,1429	3,0613	2,0409	4,5920
8	41	36	4,4286	3,1429	13,9186	19,6125	9,8778
9	42	38	5,4286	5,1429	27,9187	29,4697	26,4494
В среднем при	36,5714	32,8571
Итого	313	230,0000	0	0	86,5714	95,7143	80,8571

Пример 27. Имеются данные потребления некоторой продукции населением района по кварталам за 3 год млн. руб. (табл. 56).

Таблица 56

		Лаг
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	10,5	-	-	-	-	-	-	-	-
2	10,1	10,5	-	-	-	-	-	-	-
3	18,1	10,1	10,5	-	-	-	-	-	-
4	15,2	18,1	10,1	10,5	-	-	-	-	-
5	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5	-	-	-	-
6	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5	-	-	-
7	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5	-	-
8	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5	-
9	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1	10,5

Продолжение таблицы 3

А	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1	10,1
11	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2	18,1
12	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0	15,2
13	26,5	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1	15,0
14	25,4	26,5	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0	14,1
15	38,0	25,4	26,5	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4	25,0
16	33,0	38,0	25,4	26,5	27,0	31,6	18,5	20,0	20,4

Рассчитать коэффициенты автокорреляции, и на их основании определить структуру временного ряда. Построить график временного ряда и коррелограму.

Решение.

Для наглядности изобразим исходный временной ряд графически рисунок 14.

Рисунок 14.

Построим автокорреляционную функцию рассчитав коэффициенты автокорреляции с 1-го по 4-й порядок, результаты занесем в таблицу 57, в нее же занесем коррелограмму.

В результате анализа временного ряда можно сделать выводы:

1. временной ряд содержит линейную трендовую компоненту;

2. временной ряд содержит циклическую компоненту периодичностью в четыре периода.

Таблица 57

Лаг	Коэффициент автокорреляции,	Коррелограмма
	0,6762	******
	0,6001	******
	0,6283	******
	0,9946	*********
	0,5069	*****
	0,3404	***
	0,4555	****
	0,9904	*********