1.2. Контрольные вопросы.
Что такое криволинейная трапеция?
В чём преимущество численного интегрирования?
Что такое квадратурная формула?
Что такое узлы квадратурной формулы?
В чём суть квадратурной формулы средних прямоугольников?
В чём суть квадратурной формулы трапеций?
К какому типу вычислительного процесса относятся методы Монте-Карло?
На чём основываются вычисления по методу Монте-Карло?
1.3. Задания для лабораторных занятий.
Построить график подынтегральной функции.
Вычислить приближённое значение определённого интеграла для заданного числа узлов n квадратурной формулы
по правилу средних прямоугольников;
по правилу трапеций.
В каждом случае сравнить полученный результат с точным значением интеграла.
Дать оценку абсолютной погрешности для заданного числа узлов n соответствующих квадратурных формул.
Для каждой квадратурной формулы найти необходимое количество узлов n, при котором оценка абсолютной погрешности не превосходит заданного значения δ, вычислить интеграл с этим значением n и убедиться, что заданная точность δ достигнута.
Вычислить приближённое значение кратного интеграла по методу Монте-Карло двумя способами и сравнить результаты.
Результаты всех вычислений представить в десятичной форме с пятью знаками после запятой.
1.4. Варианты заданий.
№ |
n |
δ |
Задания №1-6 |
Задание №7 |
1 |
10, 20, 40 |
10-5 |
|
|
2 |
10, 20, 40 |
10-4 |
|
|
3 |
10, 20, 40 |
10-5 |
|
|
4 |
10, 20, 40 |
10-4 |
|
|
5 |
10, 20, 40 |
10-5 |
|
|
6 |
10, 20, 40 |
10-4 |
|
|
7 |
10, 20, 40 |
10-5 |
|
|
8 |
10, 20, 40 |
10-4 |
|
|
9 |
10, 20, 40 |
10-5 |
|
|
10 |
10, 20, 40 |
10-4 |
|
|
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 2
Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных
Цель работы: Изучение вычислительных возможностей пакета MathCAD для решения методом сеток некоторых уравнений математической физики.
Используемые программные средства: MathCAD 14.
Теоретические сведения
Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция является функцией 2-х и более переменных называются дифференциальными уравнениями с частными производными или в частных производных. Такие уравнения изучаются в общей теории дифференциальных уравнений с частными производными. Важной частью этой теории является раздел, который называется «Уравнения математической физики». Это название не случайно. Именно дифференциальными уравнениями с частными производными описываются многие физические процессы и явления окружающего нас реального мира. Методы математической физики получили широчайшее применение в теории теплопроводности, гидромеханике, теории упругости и электромагнитного поля. Термин «математическая физика» появился в следствие того, что этот раздел возник из рассмотрения простых и в то же время важных физических задач.
При изучении различных видов волн – упругих, звуковых, электромагнитных, и других колебательных явлений приходим к волновому уравнению:
,
(2.1)
где
– время;
– пространственные координаты;
– скорость распространения волны в
данной среде.
Процесс распространения тепла в однородном изотропном теле и явления диффузии описываются уравнением теплопроводности:
,
(2.2)
где
–
коэффициент теплопроводности.
Рассмотрение установившегося распределения температур в однородном изотропном теле приводит к уравнению Пуассона
(2.3)
При отсутствии источников тепла внутри тела распределение температур описывается уравнением Лапласа
(2.4)
которое, очевидно, является частным случаем уравнения Пуассона.
Уравнения (2.1) – (2.4) часто называют основными уравнениями математической физики, так как их изучение позволяет построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.
Перечисленные уравнения соответствуют различным физическим задачам и одновременно отличаются математически. Они являются представителями трёх важнейших (основных) типов уравнений с частными производными, о которых речь пойдёт ниже.