Метод Монте-Карло

Методом Монте-Карло называется совокупность приёмов, позволяющих получать приближенные решения математических или физических задач с помощью многократных случайных испытаний. На практике случайные испытания заменяются результатами вычислений над случайными числами. Такой вычислительный процесс называется недетерминированным, так как он зависит не от однозначно определённых начальных данных, а от результатов независимых случайных испытаний. Следует помнить, что для решения одной и той же задачи схема применения метода может быть различной.

Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло. Способ №1

M-кратным интегралом функции по ограниченной замкнутой области называется функционал:

. (1.21)

Геометрически число представляет собой -мерный объём прямого цилиндроида в пространстве , построенного на основании и ограниченного сверху гиперповерхностью . При число представляет собой объём обычного прямого цилиндра в пространстве , построенного на основании и ограниченного сверху поверхностью . На рис. 1.12 схематично изображён такой цилиндр.

Будем рассматривать кратные интегралы для :

Функцию считаем непрерывной, ограниченной и неотрицательной.

Для вычислений воспользуемся приближённым равенством:

где – «объём» (мера) 3-х мерной замкнутой области;

;

– «усреднённое» значение подынтегральной функции в области интегрирования.

Алгоритм решения:

1. вычисляем «объём» (меру) 3-х мерной замкнутой области интегрирования ;

2. выбираем случайным образом на каждом из отрезков , , изменения переменных точку с равномерным законом распределения;

3. для полученного случайного вектора вычисляем значение подынтегральной функции ;

4. повторяем последовательно (с помощью цикла) два предыдущих действия раз, в результате чего получаем вектор значений подынтегральной функции . Число достаточно велико;

5. вычисляем среднее арифметическое для компонент вектора или, другими словами, для значений подынтегральной функции в выбранных ранее случайных точках из области интегрирования:

6. умножаем полученное на шаге 5 значение на «объём» (меру) области интегрирования найденный на шаге 1. Иллюстрация решения такой задачи на Листинге 1.7.

Листинг 1.7.

В приведённом примере используются две встроенные функции MathCAD. Первая — rnd(), находится в категории Random Numbers (Случайные Числа) диалогового окна Insert Function:

.

Она возвращает случайное число, равномерно распределённое между нулём и заданным числом x. Вторая – mean(A,B,C,…), расположена в категории Statistics(Статистика):

.

Она возвращает среднее арифметическое значений A,B,C,…, которые передаются ей в качестве входных данных. Если передать этой функции вектор, как в приведённом выше примере (mean(y), где y – N-компонентный вектор), то она вычислит среднее арифметическое его компонент, чем мы и пользуемся.