Контрольные вопросы

1. Что называется доверительным интервалом и доверительной вероятностью?

2. Дайте общую схему построения доверительного интервала.

3. Как изменяется доверительный интервал с увеличением надежности? С увеличением объема выборки?

4. Как изменяется доверительный интервал в зависимости от того, известны ли другие параметры точно или нет?

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 5

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов (мнк)

Цель работы: Изучение вычислительных возможностей пакета MathCAD для реализации сглаживания экспериментальных зависимостей по МНК в инженерных и научных расчетах.

Используемые программные средства: MathCAD 14.

Теоретические сведения

Пусть на вход некоторого прибора подается сигнал , а на выходе измеряется сигнал . Известно, что величины и связаны функциональной зависимостью, но какой именно – неизвестно. Требуется определить эту функциональную зависимость приближенно (из опыта). Пусть в результате n измерений получен ряд экспериментальных точек. Известно, что через n точек можно всегда провести кривую, аналитически выражаемую многочленом -й степени. Этот многочлен называют интерполяционным. И вообще, замену функции на функцию так, что их значения совпадают в заданных точках:

(5.1)

называют интерполяцией.

Однако такое решение проблемы не является удовлетворительным, поскольку из-за случайных ошибок измерения и влияния на измерения значений помех и шумов в приборе. Так что:

(5.2)

где – некоторая случайная ошибка. Поэтому требуется провести кривую так, чтобы она в наименьшей степени зависела от случайных ошибок. Эта задача называется сглаживанием (аппроксимацией) экспериментальной зависимости и часто решается методом наименьших квадратов. Сглаживающую кривую называют аппроксимирующей.

Задача аппроксимации решается следующим образом. В декартовой прямоугольной системе координат наносят точки. По расположению этих точек высказывается предположение о принадлежности искомой функции к определенному классу функций. Например, линейная функция квадратичная и т.д. В общем случае . Неизвестные параметры функции определяются из требования минимума суммы квадратов случайных ошибок, т.е. минимума величины

(5.3)

Величина называется также суммарной невязкой. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является обращение в нуль частных производных невязки:

(5.4)

Решая систему уравнений (5.4), находим неизвестные параметры и тем самым полностью определяем функцию, которая наилучшим образом (в смысле наименьших квадратов отклонений от исходных точек или наименьшей суммарной невязки) аппроксимирует (приближает) искомую функцию.

Остановимся подробнее на линейной зависимости .

Дифференцируя (5.3), получим следующую систему уравнений:

(5.5)

Для представления в матричном виде системы уравнений (5.5) преобразуем ее:

(5.6)

Составим матрицы:

1) экспериментальных данных:

и ,

2) неизвестных параметров аппроксимирующей функции :

,

3) коэффициентов при неизвестных и в системе (5.6):

,

4) правых частей уравнений (5.6):

.

Следовательно, матричная запись системы (5.5):

(5.7)

и ее решение:

. (5.8)

Рассмотрим применение основных формул метода наименьших квадратов на небольшом массиве для значений линейной функции , измеренных с ошибками.

Ввод экспериментальных точек:

Длина исходных массивов:

График зависимости :

Вычисление параметров аппроксимирующей линейной функции .

.

(Используем шаблоны палитры Matrix).

Аппроксимирующая функция имеет вид:

Вычисление суммарной невязки для полученных параметров:

Ввиду простоты расчетов линейная зависимость используется довольно часто. Кроме того, многие функции, зависящие от двух параметров, можно линеаризовать путем замены переменных.

Для этого необходимо подобрать такое преобразование исходной зависимости , в результате которого зависимость приобретает линейный вид . Далее решается задача линейной аппроксимации для новой зависимости и вычисленные коэффициенты и пересчитываются в коэффициенты и .

Для ряда часто встречающихся двухпараметрических зависимостей возможные замены переменных приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Вид зависимости	Замена переменных		Ограничения
Гиперболическая
Логарифмическая
Показательная
Степенная
Комбинированная

Обратные замены для пересчета и в и . приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Вид зависимости	Обратная замена переменных		Ограничения
Гиперболическая			-
Логарифмическая			-
Показательная			-
Степенная			-
Комбинированная			-

Рассмотрим использование линеаризации исходной зависимости для функции , значения которой измерены с ошибками.

Длина исходных массивов :

.

Линеаризация исходной зависимости

Исходная зависимость :

Линеаризованная зависимость :

Далее все вычисления будем выполнять с массивами и , содержащими точки линеаризованной зависимости.

Вычисление параметров линеаризованной зависимости :

, , , .

, , , ,

.

Вычисление невязки для линеаризованной зависимости :

, .

Обратный переход к исходной зависимости:

Исходная зависимость имеет вид: аппроксимирующая функция:

.

Вычисление невязки для исходной зависимости:

Пусть теперь точки располагаются на графике вблизи некоторой параболы.

Ставится задача провести параболу, уравнение которой , через множество точек “наилучшим образом”, то есть так, чтобы сумма абсолютных величин погрешностей:

оказалась минимальной.

Применив способ наименьших квадратов, найдем минимум суммы квадратов погрешностей, то есть минимум функции трех переменных и .

.

Необходимое условие экстремума функции:

,

,

.

Отсюда:

Применив сокращенные обозначения, получим:

(5.9)

Эта система уравнений называется нормальной системой способа наименьших квадратов при выравнивании по параболе

Рассмотрим применение основных формул метода наименьших квадратов на небольшом массиве для значений квадратичной функции ,

Ввод экспериментальных точек

Длина исходных массивов

График зависимости

Вычисление параметров аппроксимирующей квадратичной функции :

.

(Используем шаблоны палитры Matrix).

Аппроксимирующая функция имеет вид:

Вычисление суммарной невязки для полученных параметров