Дифференциальное исчисление

Пусть f(x) определена в окрестности т. х. Тогда. если  то он называется производной функции f(x) и обозначается f (x). Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Другие обозначения производной y, y_x, .

Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (a, b) называют дифференируемой на интервале (a, b)

С

X

точки зрения физики производная характеризует скорость, с точки зрения геометрии производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции (т.е. тангенсу ее угла).

Если функция y=f(x) дифференцируема в т. х, то она непрерывна в этой точке. В точке разрыва функция не может иметь производную.

Брать производную по определению достаточно трудоемкое занятие, поэтому для облегчения придумана таблица производных и несколько правил.

частный случай
частный случай

Последним столбцом в таблице представлены правила дифференцирования. Особую сложность, как правило, представляет последнее правило, означающее, что в случае дифференцирования сложной (не табличной функции) необходимо предпоследнее действие обозначить за новую переменную, взять производную от функции по этой новой переменной и помножить ее на производную от этой переменной.

Отдельно необходимо остановиться на взятии производных от функций:

Производная от показательно степенной функции .

Если функция заданна параметрически , тогда

В случае если функция заданна неявно, то вычисляется производная от всего выражения, а затем выражается y через переменную x и саму функцию y.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка: y⁽ⁿ⁾=(f^(n-1)(x)).

Для приближенного вычисления значения функции в точках, в которых точное значение получить затруднительно используется формула: f(x+x)f(x)+f(x)x.

Исследования функции и построение эскиза ее графика можно производить при помощи производных.

Асимптотой графика y=f(x) называется такая прямая, что расстояние d от переменной точки М графика до этой прямой при удалении М в  стремится к 0

Исследование функции с целью построения ее графика проводится по следующим пунктам:

Асимптоты делятся на вертикальные и наклонные.

Необходимым и достаточным условием существования вертикальной асимптоты x=a для функции y=f(x) является .

Наклонные асимптоты имеют уравнение y=kx+b, где

Исследование функции с целью построения ее графика проводится по следующим пунктам:

1) находятся область определения функции,

2) проверяются симметрия графика, периодичность;

3) Определяются координаты критических точек (т.е. точек в которых функция не определена, первая или вторая производные равны нулю или не существуют).

4) Вся область определения делится критическими точками на интервалы монотонности и в каждом из этих интервалов определяются знаки первой и второй производной.

5) Используя свойства:

а) если при переходе т. х₀ в направлении возрастания х f(x) меняет знак с (+) на (-), то в т.х₀ функция имеет max, если с (-)на (+)-то min;

б) если f(x)<0 на (a,b), то график f(x) выпуклый вверх, если f (x)>0 то график f(x) выпуклый вниз.

находятся интервалы монотонности, экстремумы, интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба

6) находятся асимптоты графика функции;

7) проводится в случае необходимости исследование на концах области определения;

8) строится график функции.

В некоторых случаях приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных.

Функцией n переменных y=f(x₁,x₂,...,x_n), определенной на множестве D Rⁿ и принимающей значения на множестве YR, называется такое соответствие между множествами D и Y, при котором для любой точки (x₁,x₂,...,x_n)D существует единственный элемент yY(D Y: (x₁,x₂,...,x_n)  D  Rⁿ  yY  R y=f(x₁,x₂,...,x_n), (х₁, х₂,..., x_n ) D  Rⁿ, yYR)

Для функций многих переменных определено понятие частной производной при вычислении производной по x_i все остальные переменные считаются константами.