Математический анализ

Множеством называют совокупность элементов объединенных, каким либо общим свойством. Множества обозначаются заглавными буквами X, Y, A, B; их элементы - строчными x, y, a, b; xX - означает, что элемент х принадлежит множеству Х, хХ - не принадлежит; АВ - множество А состоит из части элементов множества В, т.е. является подмножеством В.

Множества А и В называют равными, если АВ и ВА.

Объединением АВ множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих или в А или в В; пересечением АВ называется множество, состоящее из элементов, входящих в А и в В; разностью А\В множеств А и В называется подмножество множества А элементов, не входящих в В. Если ВА, тоВ=А\В называется дополнением множества А до множества А

Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) обозначается символом .

Считают, что между множествами Х и Y установлено соответствие (обозначение X Y), если для любого xX указаны соответствующие ему yY.

Соответствие между X и Y называется взаимно-однозначным, если для любого xX существует единственный элемент yY и наоборот, для любого yY существует единственный элемент xX (обозначение Х Y).

Два множества X и Y называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (X~Y), если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным.

Для сокращения записи математических высказываний употребляется символика математической логики. Пусть ,  - некоторые высказывания, относительно которых можно сказать, истинны они или ложны.

Запись  означает “не “, т.е. отрицание ;

 - “из  следует “ ( - символ импликации);

 - “ эквивалентно “ ( - символ эквивалентности);

 - “  и “ ( - символ конъюнкции);

 - “  или “ ( - символ дизъюнкции);

xA - “для любого xA” ( - квантор всеобщности);

 yB - “существует yB” ( - квантор существования);

 xA:  - “для любого х из А имеет место “;

 xХ - “существует единственный х из Х”.

 - окрестностью U_(a) точки аR называется интервал (а-,а+) (>0), R. Проколотой  - окрестностью U_(a) называется множество U_(a)\{a}

Точка аА называется внутренней точкой множества А, если (>0: U_(a)А. Множество А называется открытым, если оно состоит из внутренних точек.

Функцией y=f(x), определенной на множестве Х и принимающей значения на множестве Y, называется такое соответствие между этими множествами, при котором для каждого xХ существует единственный элемент yY: y=f(x), xХ, yY X Y:  xХ yY

Функция y=f(x) называется возрастающей на [a,b], если большему значению аргумента соответствует большее значение функции : x₁<x₂, x₁,x₂[a,b]  f(x₁)<f(x₂), убывающей на [a,b], если x₁<x₂, x₁,x₂[a,b]  f(x₁)>f(x₂). Функция только возрастающая или убывающая на [a,b], называется монотонной.

Функция x=f^-1(y) называется обратной к функции y=f(x), устанавливающей взаимно-однозначное соответствие между X=D(f) и Y=E(f) ( ), если x=f^-1(y) выражает то же соответствие, причем Y=D(f^-1), X=E(f^-1)

Сложной функцией y=[(x)] ( или суперпозицией) называется такая функция, для которой : y=(z), yY, zZ, z=(x), xX, zZ y=(_)x.

Последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел, т.е. x_n=f(n).