Теория пределов

Число a называется пределом последовательности x_n при неограниченном возрастании n (a= ), если для любого числа >0 найдется номер N, зависящий только от  и такой, что при nN() выполняется неравенство |x_n-a|<

Символическая запись определения:

Число b называется пределом функции y=f(x) при хa, если для любого числа >0 существует такое число , зависящее только от , что из неравенства 0<|x - a|< следует неравенство |f(x) - b|< .

Символическая запись определения:

Аналогично определению предела последовательности можно ввести и предел функции при х.

Теоремы о правилах предельного перехода.

Предел постоянной равен самой постоянной.

Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение равенства f(x)=b + (x), где

Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при xa, равен сумме их пределов

Предел произведения конечного числа функций, имеющих пределы при xa равен произведению пределов

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Предел отношения двух функций, имеющих пределы при xa, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль).

Если (x)f(x)(x) в окрестности т.а и , то и

Основные теоремы о пределах облегчают нахождение пределов. В простейших случаях оказывается достаточным подставить в функцию предельное значение аргумента. Если же при такой подстановке получается неопределенное выражение вида , то нахождение предела для таких случаев называют раскрытием неопределенности.

При раскрытиях неопределенностей используются методы вынесения общего множителя за скобку и его сокращение (причем за скобку стремятся вынести такой множитель после сокращения которого предел считается простой подстановкой).

Кроме того в некоторых случаях неопределенности раскрываются с использованием так называемых I и II замечательных пределах.

I замечательный предел:

II замечательный предел: .

е2,71828... Логарифмы чисел по основанию е обозначаются lnx и называются натуральными логарифмами.

Пусть функция y=f(x) определена в т. x₀ и ее окрестности: y₀=f(x₀). Если аргумент x получит приращение x в т. x₀, т.е. x=x+x-новое значение, то и функция получит приращение y. Новое значение функции будет y₀+y=f(x₀+x), а приращение функции в т.x₀ y= f(x₀+x)-f(x₀)

Функция y=f(x) называется непрерывной в т.x₀, если: она определена в т. х₀ и ее окрестности; .

Функция y=f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если функция не является непрерывной в т. х₀

Предел , если хх₀, оставаясь меньше х₀, называется левосторонним пределом и обозначается , предел при хх₀, хх₀, называется правосторонним пределом и обозначается 

Точки разрыва бывают трех типов:

1 ) х₀- устранимая т.р. f(x₀-0)=f(x₀+0) и они конечны, но f(x₀) .

2) х₀ - т.р. 1 рода f(x₀+0), f(x₀-0) - конечны, но f(x₀+0)f(x₀-0).

3) х₀ - т.р. 2 рода: все остальные т.р.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на [a,b] своего наибольшего М и наименьшего m значений (mf(x)M), т.е. непрерывная на [a,b] функция ограничена на [a,b].

Если функция ) непрерывна на [a,b] и на концах [a,b] принимает значения разных знаков, то c[a,b], в которой f(c)=0

Если f(x) ) непрерывна на [a,b], f(a)f(b), то для любого числа  между f(a) и f(b) найдется т.  (a,b), в которой f()=.Таким образом, непрерывная функция на [a,b] принимает все свои промежуточные значения.