Аналитическая геометрия.

Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат.

Линия на плоскости может быть задана характерными геометрическими свойствами, по которым находится ее уравнение. Координаты произвольной точки линии являются текущими координатами этой точки, или при помощи уравнения.

Уравнение F(x,y) = 0 называется уравнением линии на плоскости, если ему удовлетворяют координаты (x,y) каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.

Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Оxy может быть задана уравнением одного из следующих видов.

1. – общее уравнение прямой.

2. – уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору .

3. – уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой).

4. – уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору (параметрическое уравнение прямой).

5. – уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях.

6. – уравнением прямой с угловым коэффициентом k, где k – тангенс угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс.

7. – нормальное уравнение прямой, где , – направляющие косинусы нормального вектора направленного из начала координат в сторону прямой, – расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение прямой приводится к нормальному виду путем умножения его на нормирующий множитель , где .

Если прямая L задана своим нормальным уравнением, а – некоторая точка плоскости, то выражение задает отклонение точки от прямой L. Знак отклонения указывает на взаимное расположение точки и начала координат относительно прямой L: точка и начало координат лежат по разные стороны относительно прямой L; точка и начало координат лежат по одну сторону относительно прямой L; точка лежит на прямой L.

Расстояние от точки до прямой L равно модулю отклонения .

Если две прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то тангенс угла между ними может быть определен по формуле: .

Достаточно часто рассматривается уравнение прямой на плоскости проходящей через две точки и , оно имеет вид:

Аналогично линиям на плоскости поверхности могут быть заданы характерными геометрическими свойствами или при помощи уравнений.

Уравнение F(x,y,z)=0 называется уравнением поверхности, если ему удовлетворяют координаты (x,y,z) каждой точки данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.

Плоскость в пространстве в декартовой прямоугольной системе координат Оxyz может быть задана уравнением одного из следующих видов.

1. – общее уравнение плоскости.

2. – уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору .

3. – уравнение плоскости в отрезках, где a, b и c – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях.

4. – нормальное уравнение плоскости, где , , – направляющие косинусы нормального вектора направленного из начала координат в сторону плоскости, – расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду путем умножения его на нормирующий множитель .

Если плоскость P задана своим нормальным уравнением, а – некоторая точка прастранства, то выражение задает отклонение точки от плоскости P. Знак отклонения указывает на взаимное расположение точки и начала координат относительно плоскости P: точка и начало координат лежат по разные стороны относительно плоскости P; точка и начало координат лежат по одну сторону относительно плоскости P; точка лежит на плоскости P.

Расстояние от точки до плоскости P равно модулю отклонения .

Часто рассматривается уравнение плоскости проходящей через три точки , и оно имеет вид:

Линию в пространстве можно всегда определить как линию пересечения двух поверхностей. Если они заданы уравнениями F₁(x,y,z)=0 и F₂(x,y,z)=0, то система этих уравнений задает уравнения линии пересечения поверхностей.

Прямая в пространстве может быть задана при помощи уравнения одного из следующих видов:

1. – общее уравнение прямой.

2. – уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой).

3. – уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору (параметрическое уравнение прямой).

Достаточно часто рассматривается уравнение прямой в пространстве проходящей через две точки и , оно имеет вид: