Вектора.

Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, характеризующийся длиной и направлением:

Из двух граничных точек этого отрезка одна является началом, а другая концом. Вектор обозначается или , где А - начало, В - конец вектора; длина вектора (модуль) обозначается символом |а| или | |.

Нуль - вектором называют вектор, конец которого совпадает с началом.

Два вектора называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых.

Три вектора называются компланарными, если они расположены в параллельных плоскостях.

Равными считаются векторы, которые : коллинеарны, сонаправлены и имеют равные модули.

Суммой + векторов и при условии, что конец вектора совмещен с началом вектора , называется вектор соединяющий начало вектора с концом вектора .

Сложение векторов коммутативно и ассоциативно:

+ = + ( + )+ = +( + )

Разностью - векторов и называется вектор для которого + =

Произведением  вектора на число  называется вектор  такой, что | | = || | |;  коллинеарен вектору и направлен в ту же сторону при >0 и в противоположную сторону - при <0.

При умножении вектора на число выполняются следующие соотношения:

() =( ) ( + )= +

Линейной комбинацией векторов , ,…, называется вектор

где -произвольные действительные числа.

Вектора линейно зависимы, если  одновременно не равные нулю такие что линейная комбинация равна нулю, в противном случае вектора линейно-независимы

Два коллинеарных вектора всегда линейно-зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Три компланарных вектора линейно-зависимы, а три некомпланарных – линейно-независимы.

Любые четыре вектора в пространстве линейно-зависимы.

Базисом называется максимальная линейно-независимая система векторов (добавление к системе еще одного вектора делает ее линейно зависимой )

Базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке, а базисом в пространстве - любые три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Любой вектор представим как линейная комбинация базисных векторов.

Коэффициенты разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в базисе  : ={ }.

При сложении или вычитании векторов складываются или вычитаются их соответствующие координаты.

={ }, ={ },  ={₁  ₁, ₂  ₂,…, _n  _n} ;

При умножении вектора на число  все его координаты умножаются на это число.

Отметим, что если векторы и коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

По аналогии с множеством векторов на плоскости и в пространстве можно ввести понятие n – мерного вектора в n – мерном пространстве.

Множество всех n - мерных векторов = (₁, ₂,...,_n), _iR, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется арифметическим n- мерным векторным пространством Rⁿ

В частности, R² - множество векторов на плоскости, R³ - множество векторов в пространстве.

Для пространства Rⁿ сохраняются определения линейной комбинации и линейной зависимости векторов  .

Базисом в Rⁿ называется любая система n линейно независимых векторов, число n называется размерностью пространства Rⁿ.

Прямоугольной декартовой системой координат (ПСК) называется совокупность точки О и ортонормированного базиса i,j,k, т.е. такого базиса, в котором векторы единичны (имеют длины, равные 1) и взаимно перпендикулярны. Три взаимно перпендикулярные прямые в направлении базисных векторов называются осями координат: оси абсцисс, ординат, аппликат.

Обычно рассматривается правая система координат, т.е. такая, что из конца вектора к кратчайший поворот отi кj виден против часовой стрелки.

Точке М в пространстве соответствует радиус-вектор . Координатами точки М назовем координаты вектора : =x_Mi +y_M j +z_Mk , т.е. М(х_М,y_M,z_M).

Длина - диагональ прямоугольного параллепипеда вычисляется как . Если вектор a расположен в пространстве произвольно, то a=a_xi+a_yj +a_zk, . Пусть А(х_А,y_A,z_A)-его начало, B(x_B,y_B,z_B)-его конец, тогда =ОВ–ОА={x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A}, .

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образуемых им с координатными осями.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

Для скалярного произведения справедливо:

1.

2.

3.

Из этих свойств следует, что при скалярном умножении можно раскрывать скобки так же, как при умножении многочленов.

Через координаты скалярное произведение представляется следующим образом:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения.

Кроме того используя скалярное произведение становиться возможным находить угол между векторами где φ угол между векторами и .

Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый следующим образом:

 ,  ; ; вектора , и образуют правую тройку

Векторное произведение обозначается символами =  =[ , ]

Для векторного произведения справедливо:

1.

2.

3.

Через координаты векторное произведение представляется следующим образом:

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов и является равенство нулю их векторного произведения.

Кроме того используя векторное произведение становиться возможным находить площадь параллелограмма и площадь треугольника построенного на этих векторах: S_□= ;

Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов , и называется число равное ( , , )=([ , ], )

Смешанное произведение ( , , ) с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , . Произведение имеет знак (+), если тройка , , - правая, (-) - если тройка , , - левая.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения.

Через координаты смешанное произведение представляется следующим образом: