5. Теплопроводность при нестационарном режиме

Дано:

Труба с водой находиться в среде с температурой t_ж. Внезапно температура среды понижается до t_ж1. Подсчитать, через сколько времени вода в трубе начнет замерзать, диаметр трубы d_нδ. Коэффициент теплоотдачи от трубы к среде α. Расчет произвести, не учитывая теплоинерционные свойства металла трубы.

Вариант	tж, С	tж1, С	dнδ	α, Вт/(м2∙К)
б	10	–10	90 2	34,5

Найти:

Δt – ?

Решение:

Нестационарная теплопроводность характеризуется изменением температурного поля тела во времени и связана с изменением энтальпии тела при его нагреве или охлаждении. Безразмерная температура тела θ определяется с помощью числа Био  Вi = аl/λ, числа Фурье Fo = aτ/l² и безразмерной координаты, обозначаемой для пластины , X = x/δ, а для цилиндра R = r/r_o.Охлаждение (нагревание) тел поисхо­дит в среде с постоянной температурой t_ж, при постоянном коэффи­циенте теплоотдачи α; λи а- теплопроводность и температуропровод­ность материала тела, l- характерный размер тела (l = δ для пла­стины, l=r₀ для цилиндра), х и r- текущие координаты соответствен­но для пластины и цилиндра.

5.1. Тепа с одномерным температурным полем.

Пластина толщиной 2δ. Безразмерная температура пластины

 (5.1)

где t- температура в пластине для момента времени т в точке с координатой х; t₀- температура пластины в начальный момент времени.

Если Fo ≥ 0,3 то температура на поверхности пластины (Х=1)

 (5.2)

температура на середине толщины пластины (Х=0)

 (5.3)

температура внутри пластины на расстоянии хот ее средней плоскости

 (5.4)

где P, N, μ₁, μ₁² определяются по табл. 5 приложения для пластины в зависимости от числа Bi.

Температура   и   можно определить по графикам рис. П.1 и П.2 по известным числам Bi и Fo.

Цилиндр радиусом r₀. Безразмерная температура цилиндра

 (5.5)

гдеt - искомая температура в цилиндре для радиуса r_х и времени τ,

0≥ r_х ≤ r

Если Fo ≥ 0,3 то температура на поверхности пластины (R=1)

 (5.6)

температура на оси цилиндра (R=0)

 (5.7)

температура внутри цилиндра для радиуса r_х

 (5.8)

где P₀, N₀, μ₁, μ₁² определяются по табл. 6 приложения для цилиндра в зависимости от числа Bi;   - функция Бесселя первого рода нулевого порядка (табл. 19 приложения).

Температуры   и   можно определить по графикам рис. П.З и П. 4 Приложения по известным числам Bi и Fo

5.2. Тела конечных размеров.

Температура определяется на основе теоремы о перемножении ре­шений: безразмерная температура тела конечных размеров при нагре­вании (охлаждении) равна произведению безразмерных температур тел с бесконечным размером, при пересечении которых образовано данное конечное тело.

Цилиндр длиной 2δ и радиусом r₀ (рис. 4.1). Он образован пересечением бесконечной пластины толщиной 2δ и бесконечного цилиндра радиусом r₀.

Безразмерная температуры стержня

 равна  (5.9)

где   (или функция Ф₁) при Fo ≥ 0,3 определяется по формулам (5.1) - (5.3) и графикам рис. П.1 и П.2 приложения для бесконечной пластины толщиной 2δ;   (или функция Ф₂) при Fo ≥ 0,3 определяется по формулам (5.5) - (5.7) и графикам рис. П.З и П.4 приложения для бесконечного цилиндрического стержня радиусом r₀.

При Fo ≥ 0,3 безразмерная температура внутри цилиндрического стержня в точке с координатами хи r_хбудет определяться аналогич­но, но  рассчитывается по формуле (5.4), a   - по формуле (5.8) с использованием табл. 5 и 6 приложения.

Решение задачи:

По условию задачи сказано, что не учитываем теплоинерционные свойства металла трубы. Значит, расчет проводим для воды.

Исходная температура – t₀ = 10 ⁰С

По таблицам приложений находим:

λ_воды = 0,574 Вт/(м·К)

По известным значениям радиуса и коэффициента α найдем значения критерия Био

Диаметр воды – это диаметр трубы минус толщина = 90 – 2 = 88 мм

Соответственно радиус = d/2 = 88/2 = 44 мм = 0,044 м

Из приложения П.16 находим μ₁ = 1,7234 и D₁ = 1,392

В заданный момент безразмерная температура в центре трубы:

_{Так же}

В таблицах приложений нет значений ε для Bi = 2,64

Решим это уравнение в системе МатКАД, получим:

ε₁ = 1,16; R = r/r₀ = 1; Тогда по таблицам находим

J₀ = J₀(1,2) = 0,6711

Получим:

Так же число Фурье можно найти и по другой формуле:

Откуда:

а – коэффициент температуропроводности (м²/с)

Из таблиц приложений для воды (при t = 10 ⁰С) берем данные и вычисляем:

Находим время охлаждения воды до 0 ⁰С:

с или 109,4 минут или 1,8 часа

Ответ: τ = 1,8 ч.