4. Теплопроводность при наличии внутренних

источников теплоты

Дано:

Электропривод диаметром d покрыт изоляцией толщиной δ. По проводу проходит ток силой I. Температура окружающего воздуха t_в, а коэффициент теплоотдачи к воздуху α. Найти температуру на оси провода, а также на поверхности провода и изоляции и построить температурный график.

Вариант	d, мм	δ, мм	Ι ,А	tв, С	α, Вт/(м2∙К)	Материал провода	Материал изоляции
б	0,5	1,5	6	10	6	Медь	Винипласт

Найти:

t _оси, t_пов, t_из – ?

Решение:

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной 2δ, коэффициент теплопроводности λ которой постоянен.

Внутри этой стенки имеются равномерно распределённые источники теплоты qv. Выделившаяся теплота через боковые поверхности стенки

передаётся в окружающую среду.

Для плоской пластины (λ=const), равномерно охлаждаемой c обеих сторон (рис. 3.1), задана температура поверхности t_пов.

 

рис. 3.1 - Одномерное температурное поле в пластине толщиной 2δ

 (4.1)

где 

В формуле (4.1) при х = 0 темпе­ратура в середине толщины пла­стины

 (4.2)

Учитывая зависимость   в условиях больших перепадов температур, температурное поле в пластине можно рассчитать по фор­муле

 (4.3)

Для плоской пластины (λ=const), равномерно охлаждаемой с обеих сторон, заданы температура среды t_Ж и коэффициент теплоотдачи α.Одномерное температурное поле в пластине

 (4.4)

где 

при х=0температура в середине толщины пластины

 (4.6)

Мощность внутренних источников теплоты для пластины определяются по формулам:

 ; (4.7)

 ; (4.8)

 . (4.9)

Связь между объемной qv и поверхностной qF плотностями тепло­выделения используется при определении теплового потока на боко­вых поверхностях пластины

 ;   (4.10)

4.2. Цилиндрический стержень

Для бесконечного стержня (λ=const) задана температура на оси tоси.

Температурное поле в стержне диаметром d₀

 , (4.11)

где   .

В формуле (4.8) при   температура на поверхности стержня

 . (4.12)

С учетом зависимости   температурное поле в стержне

 (4.13)

Для стержня (λ=const), равномерно охлаждаемого средой, заданы ее температура tж и коэффициент теплоотдачи α.

Температурное поле в стержне

 (4.14)

В формуле (4.14):

при d_x=0температура на оси стержня

 (4.15)

при d_x = d₀температура на поверхности стержня

 . (4.16)

Мощность внутренних источников теплоты для стержня

 ; (4.17) 

 ; (4.18)

 . (4.19)

4.3. Цилиндрическая труба

Теплота отводится через внешнюю поверхность трубы. Температур­ное поле в стенке трубы с внутренним радиусом r1и внешним r₂

 (4.20)

где r1 ≤ r x≤ r₂; t₁- температура на внутренней теплоизолированной по­верхности трубы.

Подставляя в формулу (4.20) r_х = r₂,можно получить расчетное выражение для перепада температуры в стенке

 (4.21)

и формулу для линейной плотности теплового потока

 , (4.22)

где t2 - температура на внешней поверхности трубы.

Теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы.

Температурное поле в стенке трубы

 (4.23)

Перепад температур в стенке

 (4.25)

Линейная плотность теплового потока.

 (4.26)

Теплота отводится через обе поверхности трубы.

Перепад температур в стенке

 (4.27)

где r₀- радиус поверхности, которая имеет наибольшую температур to, r1<r₀<r₂.

Этот радиус определяется из зависимости

 (4.28)

Наибольшую температуру в стенке трубы можно найти по выра­жению

Или   (4.28)

4.4. Теплообмен в условиях электрического нагрева.

При прохождении электрического тока по проводнику цилиндрической формы диаметром d_ци длиной l температуры рассчитываются формулам (4.12) и (4.15), в которых q_v выражается через электрические параметры: I - силу тока, A; U- напряжение, В; R_эл - электрическое сопротивление проводника, Ом:

 (4.29)

Где   ;   ;   - удельное электрическое сопротивление материала проводка Ом*м.

Решение задачи:

Из приложений учебников находим:

Коэффициент теплопроводности винипласта:

λв = 0,13 Вт/(м*К)

удельное улектроспротивление меди:

Вычислим тепловой поток на метр провода:

Найдем искомые температуры:

На поверхности изоляции:

На поверхности провода:

На оси провода:

Ответ: , ,

Задание № 5.9 (б)