Задание №4.

Пользуясь только определениями операций над множествами и определением равенства множеств, доказать .

Решение:

Обозначим Хлевую часть равенства, аУ– правую. Согласно определению равенства множеств, покажем, что выполняются одновременнои.

Пусть х– произвольная точка из множества. Тогда по определению пересечения множеств. Далее по определению объединения множеств. Следовательно,или. Далее,или. Тогда.

Таким образом, для любого выполняется.

Докажем теперь, что .

Пусть у– произвольная точка из множества. Тогда приили. Следовательно,. Тогда

В силу произвольности , заключаем, что. Мы доказали, чтои, следовательноХ=Уи закон дистрибутивности доказан.

Ответ: что и требовалось доказать

Задание №5.

Пусть . Бинарное отношениезадано характеристическим свойством:. Представить отношение различными способами. Выяснить, какими свойствами оно обладает.

Решение:

1. Отношение Rможно задать перечислением всех его элементов:

2. Наглядно представить отношение Rможно с помощью графика:

3. Можно представить в виде схемы:

4. В виде ориентированного графа:

5. Можно задать матрицей отношений

	1	2	3	4
1	1	0	1	0
2	0	1	0	1
3	1	0	1	0
4	0	1	0	1

6. Выясним, какими свойствами обладает отношение R.

а) Рефлексивность – ДА, т.к. . Приусловие «четное» принимает вид- четное (выполняется пи любых значениях).

б) Антирефлексивность – НЕТ

в) Симметричность – ДА, Пусть - четное, т.е. Составим паруи для нее проверим характеристическое свойство отношения:.

Очевидно, что - четное, ачетно по условию. Следовательно,- четно, т.е.

г) Антисимметричность – НЕТ

д) Транзитивность – ДА. Пусть и, т.е.-четно и- четно. Будет ли четно выражение?

Преобразуем . Четно, т.к. первые два слагаемых четны по условию, а третье слагаемое- четно. Значит, и отношение транзитивно.

Поскольку данное отношение является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, то оно является отношением эквивалентности. На графе отношения хорошо видны классы эквивалентности – это подмножества имножестваХ.

Задание №6.

Дано множество и отношение. Показать, что отношение К является отношением порядка. Построить диаграмму Хассе частично упорядоченного множества. Существует ли в множествеXнаибольший и наименьший элементы? Существуют ли несравнимые элементы?

Решение:

Покажем, что отношение r – рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

а) Рефлексивно – ДА, т.к любое число является своим делителем, т.е. для любого

б) Антисимметрично – ДА. Пусть одновременно выполняются условия и. Тогда. Действительно,означает, чтох– делительу, т.е. найдется целое числоmтакое, что. Отсюда,и. Последнее равенство выполняется приили. Но т.к. все элементы множестваХположительные числа и второй случай невозможен, тои отношениеR– антисимметрично.

в) Пусть и. Значит найдутся такие, что. Тогда, где, следовательно,хявляется делителемz.

Т.к. отношение R– рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно является отношением порядка.

Построим диаграмму Хассе частично упорядоченного множества .

На нижнем уровне элементы , не имеющие других делителей кроме себя (х = 1). На втором уровне элементы, которые делятся на себя и на элемент нижнего уровня (х = 2,х= 3). И на последнем уровне оставшийся элемент, который делится на себя и элементы нижних уровней (х= 6).

Из диаграммы видно, что несравнимые элементы – 2 и 3.

Наибольший элемент – 6 – максимальный.

Наименьший элемент – 1 – минимальный.