4. Определить принадлежность функций системы пяти замкнутым классам. Проверить выполнение условий теоремы Поста для системы бф:

f₁=x⊕y⊕z, f₁=xy, f₃=1, f₄=0.

а) Определим, принадлежат ли функции системы классу Т₀:

f₁(0,0,0)=0⊕0⊕0=0,  f₁Т₀

f₂(0,0)=0*0=0 f₂Т₀

f₃=1 f₃Т₀

f₄=0 f₄Т₀

б) Определим принадлежат ли функции системы классу Т₁:

f₁(1,1,1)=1⊕1⊕1=1,  f₁Т₁

f₂(1,1)=1*1=1 f₂Т₁

f₃=1 f₃Т₀

f₄=0 f₄Т₀

в) Определим, принадлежат ли функции системы классу S

Очевидно, что f₃S и f₄S

f₁S и f₂S, т. к.

f*(x₁,…, x_n)f(x₁,…, x_n).

г) Определим, принадлежат ли функции система класса L. Для этого построим поминомы Жигалкина для каждой функции системы.

f₃=1, степень поминома равна 0, следовательно f₃L

f₄=0, степень поминома равна 0, следовательно f₄L

f₂(x,y)=xyL, т. к. ее помином Жигалкина второй степени f₂(x,y,z)= x⊕y⊕zL, т.к. ее помином Жигалкина первой степени.

д) Определим, принадлежат ли функции системы классу М.

Функция f₁ зависит от 3-х переменных (n=3) и между двоичными словами установлен следующий частичный порядок:

При (011)(001)

Условие

f₁ (001)> f₁(001) не выполняется, т.к.

f₁(011)= 0⊕1⊕1=0

f₁(001)= 0⊕0⊕1=1, следовательно f₁  М.

111

110 011

101

100 010 001

000

Функция f₂ зависит от 2-х переменных (n=2) b между двоичными словами уставлен следующий частичный порядок:

11

01 10

00

Для f₂ (x,y)=xy запишем порядок значений

1

0 0

0

Имеем, что f₂ (11)> f₂ (01), f₂(11)> f₂(10), f₂(10)> f₂(00), f₂(01)> f₂(00).

Следовательно функция f₂  М.

Очевидно, что f₃ М, f₄ М.

Занесем данные в таблицу

	T0	T1	S	L	M
f1	+	+	-	+	-
f2	+	+	-	-	+
f3	-	+	-	+	+
f4	+	-	-	+	+

Система БФ будет полной, если в каждом столбце таблицы встретится хотя бы один знак «-», таким образом, система БФ – полная система.

Применим док-во теоремы Поста: построим с помощью функций f₁, f₂, f₃, f₄ конъюнкцию и отрицание.

Т.к. f₃Т₀, f₄T₁, то согласно 1-у шагу док-ва теоремы 7, (x)= f₃ 1 и

(x)= f₄0, т.е. имеет случай г). Для построения отрицания найдем немонотонную функцию – это функция f₁.

Выбираем два соседних набора (001) и (011).

При этом f₁ (001)=1, а f₁ (011)=0.

Тогда x = f₁ (0,x,1).

Выполним подстановку x = f₁ (f₄,x, f₃).

Тогда x=0x1.

Теперь построим конъюнкцию. Нелинейной является функция f₂. Ее помином Жегалкина имеет вид - f₂ =xy0x0y0 (т.е. a=0, b=0, d=0). Поэтому преобразование

x₁x₂=(x₁b, x₂a)abd означает в нашем случае (x₁0, x₂0)00,

т.е. f₂ (x,y)= f₁ (f₄, f₂(x,y), f₃)

= f₁ (f₄, f₂(x,y), f₃)= 0xy1= xy = xy.

Конъюнкция и отрицание представлены в виде суперпозиций функций f₁ = xyz,

f₂ = xy, f₃ =1, f₄ =0, следовательно любую БФ можно представить в виде суперпозиции этих функций, т.е. {, 1, 0} – полная система.

5. Минимизировать БФ: f(x,y,z,t)=(0,1,3,8,9,12,13,11).

Карта Карно для f(x,y,z,t) имеет вид

x₁

1
1
1	1	1	1
1			1

x₂ x₄

x₃

Можно склеить две «четверки» единиц и две «двойки» единиц.

При этом получим следующие ЭК:

при склеивании вертикальной четверки:

x₁ x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ x₃ x₄ = x₁ x₂ x₃  x₁ x₂ x₃ = x₁ x₃

при склеивании горизонтальной четверки:

x₁ x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ x₃ x₄ = x₁ x₂ x₄  x₁ x₂ x₄ = x₂ x₄

при склеивании ПЭК с номерами 1 и 0:

x₁ x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ x₃ x₄ = x₁ x₂ x₃

при склеивании ПЭК с номерами 8 и 0:

x₁ x₂ x₃ x₄ + x₁ x₂ x₃ x₄ = x₂ x₃ x₄.

Таким образом

f(x₁x₂x₃x₄) =  (0,1,3,8,9,12,13,11) = x₁x₃  x₂x₄  x₁ x₂ x₃  x₂ x₃ x₄

6. Провести синтез схемы, реализующей БФ f(x,y,z)=(xy) (xz). Оптимизировать по числу ФЭ, если это возможно.

Решим в начале вопрос о существовании такой СФЭ. Система БФ {,,} является полной, поэтому задача имеет решение.

Представим f(x,y,z) таблицей, а затем запишем ее в СДНФ.

	x	y	z	x→y	x→z	(x→y) →(x→z)	ПЭК
0	0	0	0	1	1	1	x y z
1	0	0	1	1	1	1	x y z
2	0	1	0	1	1	1	x y z
3	0	1	1	1	1	1	x y z
4	1	0	0	0	0	1	x y z
5	1	0	1	0	1	1	x y z
6	1	1	0	1	0	0
7	1	1	1	1	1	1	x y z

f(x,y,z)= x y z  x y z  x y z  x y z  x y z  x y z  x y z

СФЭ, соответствующая этому представлению f(x,y,z) содержит 31ФЭ. Количество ФЭ можно уменьшить. Составим карту Карно данной БФ.

	1	1	1
1	1	1	1

6	7	3	2
4	5	1	0

При склеивании четверки: 4,5,1,0: x y  x y = y

3,2,1,0: x y  x y = x

При склеивании ПЭК с №5;7:xz

f(x,y,z) = y  x  xz.

СФЭ, соответствующая форме записи БФ f(x,y,z)= y  x  xz содержит только 5 ФЭ

x 1

1

y 1 1 f(x,y,z)

z 