1- 2_Спецглавы математики

По определению декартова произведения . Запишем элементы этого множества в виде матрицы и занумеруем их по столбцам.

	2	5	8	11	14
1	(1,2)1	(1,5)4	(1,8)7	(1,11)10	(1,14)13
2	(2,2)2	(2,5)5	(2,8)8	(2,11)11	(2,14)14
3	(3,2)3	(3,5)6	(3,8)9	(3,11)12	(3,14)15

Если номер делится на 3 без остатка, то первый элемент пары равен 3; Если номер делится на 3 с остатком 1, то первый элемент пары равен 1; Если номер делится на 3 с остатком 2, то первый элемент пары равен 2. Поэтому способ нумерации может быть задан следующим образом:

И множество АВ счетно, т.е. имеет мощность N_0.

Задание №9:

Равномощны ли множества и .

Решение:

Применим теорему Кантора-Бернштейна. Возьмем в качестве подмножества X₁ множества X незамкнутый интервал X₁. Биекция X₁ на Y легко устанавливается: например по закону, осуществляется взаимнооднозначное отображение интервала (0;1) на интервал(0;+∞).

В качестве подмножества возьмем любой замкнутый интервал, например, Биекция Y₁ на Х устанавливается, например по закону:

Таким образом, условия теоремы Кантора-Бернштейна выполняются, следовательно, множества и равномощны