Лекція 1

Вступ

В сучасній науці і техніці математичні методи дослідження, моделювання та проектування відіграють все більшу роль. Це обумовлено швидким ростом застосування обчислювальної техніки, завдяки чому істотно розширюються можливості успішного застосування математичних методів при розв’язанні конкретних задач, що виникають в різних галузях науки і техніки.

Курс «Теоретичні, фізичні та інформаційні основи галузевого знання» орієнтований на розв’язання задач , які виникають у практичній інженерній діяльності.

Процес пізнавання приводить до необхідності побудови найскладніших математичних моделей. На цьому шляху сучасна обчислювальна техніка є ефективним засобом для математичного моделювання явищ і процесів у виробництві, природі, науці і техніці.

Зокрема розвиток енергетики викликав як різке зростання об’єму перероблюваної інформації, так і підвищення вимог до швидкості і точності її обробки. Ці зміни ведуть до активного використання економіко – математичних методів і методів обчислювальної математики, які відіграють зараз домінуючу роль в розв’язанні теоретичних і прикладних задач в багатьох галузях.

Мета курсу: виробити навики складання математичних моделей, допомогти оволодінням чисельним методам обчислювальної математики, їх реалізаціями на ПЕОМ та набути вміння використовувати їх для розв’язання практичних задач з використанням системи комп’ютерної математики MathCad.

Аналіз сучасного стану спрямованості досліджень у галузі обчислювальних методів дозволяє зробити наступний висновок: все більше і більше дослідників присвячують свої дослідження обчислювальним методам за участю функцій двох і більше змінних. При цьому значна увага приділяється оптимізації методів наближення функцій багатьох змінних, заданих явно або таких, що є рішеннями диференціальних або інтегральних рівнянь. Інформація, що використовується при цьому для побудови операторів наближення, включає: значення наближається функції та її приватних похідних до фіксованого порядку в заданій системі точок; слід наближатися функції і сліди деякого набору диференціальних операторів від неї (зокрема, її приватних похідних, або її нормальних похідних і т.п.) до фіксованого порядку на заданій системі ліній (для функцій двох і більше змінних) або поверхонь (для функцій трьох і більше змінних); дані Радону (проекції), які надходять з комп'ютерного томографа (наприклад, лінійні інтеграли уздовж заданої системи ліній або поверхонь від обьемной щільності досліджуваного тіла); томограми перетинів тіла, що надходять з комп'ютерного томографа; фотографії з супутників деяких частин планет чи інших косімческіх обьектов і т.п.

Таким чином, можна констатувати, що в останні роки на перше місце висувається цифрова обробка багатовимірних сигналів, які можуть надходити на вхід процесора і обрабокі яких повинна проходити досить швидко (часто в реальному масштабі часу). Для того, щоб оцінити складність завдань зазначених типів, ефективне вирішення яких можливе в чому завдяки появі сучасних ПЕОМ, зупинимося на зазначених вище прикладах більш детально.

Приклади інженерних завдань, оптимальне вирішення яких вимагає відновлення функцій багатьох перемнние і сучасних комп'ютерних технологій.

1. Картографія дна океану за допомогою даних гидролокациі.

При картографії дна океану за допомогою даних гидролокациі (див. Рис.1), одержуваних на лініях - курсах корабля з гідролокатором.

Рис 1. Лінії х = х_k (k= ) и y = y_i (i= ) – курсы корабля с гидролокатором.

Нехай z=f(x,y) є рівнянням поверхні дна океану. Задача складається у відновленні поверхні дна, тобто функції за допомогою мінімальної кількості експериментальних даних або (в загальному випадку) за допомогою , де - деяка система ліній.

2. Проектування корпусів літаків, ракет, суден, автомобілів

Поверхня літака складається з шматків обшивки (див. Рис. 2), прикріплених до каркаса. Рівняння i-го куска (у відповідному параметричному представленні) повинні зберігати безперервність між різними шматками (фрагментами) поверхні і забезпечувати необхідні аеродинамічні властивості. Завдання полягає у відновленні (можливо, наближеному) поверхні корпусу літака за допомогою оптимальної системи рівнянь ліній, що створюють каркас і зі збереженням необхідних технологічних і аеродинамічних властивостей.

Рис. 2. Каркас літака складається з сімейства ліній, до яких прикріплюються шматки поверхні з потрібними технологічними властивостями.

Сказане відноситься також до задачі опису поверхні судів, ракет, автомобілів, манекена, що використовується у швейній промисловості і т.д.

3. Відновлення поверхні космічного тіла за допомогою даних радіолокації.

Картографія поверхні космічного тіла за допомогою даних про поверхню, що надходять з радіолокатора (встановленого, наприклад, на борту штучного супутника (див. Рис. 3)) повинна використовувати відомості про рівняння ліній-траєкторій руху променя по поверхні космічного тіла, а також про рельєф поверхні на цих лініях (або на прилеглих до них смугах).

Рис. 3. Дані радіолокації ми отримуємо на системі ліній, розташованих на поверхні космічного тіла.

У деяких випадках такий метод картографування є єдино можливим. Наприклад, поверхня Венери видна в оптичний телескоп - вона прихована під товстим шаром атмосфери Венери. Але карта її поверхні створена за допомогою даних радіолокації. Ефективне картографування повинно використовувати відповідний математичний апарат.

Таким чином, стає зрозумілим, що в 21-му сторіччі практика висуває новий, важливий і складний з практичної і теоретичної точки зору, коло завдань, що не розглядалися досі в сучасних курсах обчислювальної математики. У цих завданнях нетрадиційної є не тільки вихідна інформація (експериментальні дані), але також і способи її отримання, зберігання і представлення для обробки. Ефективне вирішення таких завдань вимагає використання нових математичних методів, які враховують можливості сучасних ПЕОМ і навіть те, в якому вигляді задається початкова інформація (сліди функцій, проекції, знімки, томограми і т.д.