ременной х в несколько раз соответствующее значение переменной у

уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им

можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассмат-

риваются обратно пропорциональные величины.

1.1.5. Алгебраические операции на множестве

План

1. Понятие алгебраической операции.

2. Свойства алгебраических операций.

Содержание

В математике изучают не только отношения, но и различные опе-

рации. Например, сложение, вычитание, умножение, деление, извлече-

ние из корня – это операции над числами; пересечение, объединение,

вычитание, декартово умножение – это операции над множествами;

конъюнкция, дизъюнкция, отрицание – это операции над высказывани-

ями и высказывательными формами. Операции над высказываниями и

множествами появились в математике в XIX веке. Операции над выска-

зываниями ввел английский математик Дж. Буль, а операции над мно-

жествами – немецкий математик Г. Кантор. Оказалось, что операции

над высказываниями и множествами обладают свойствами, аналогич-

ными свойствам сложения и умножения чисел, но некоторые их свой-

ства отличаются от свойств операций над числами.

Вообще, в XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры:

обычных чисел, высказываний, множеств и другие. Каждая из них имела

свои правила, но для некоторых видов алгебр эти правила были похо-

жими. Стремление выяснить, что представляет собой любая операция,

способствовало появлению общего понятия алгебраической операции.

Изучение свойств алгебраических операций привело математиков к

выводу о том, что основная задача алгебры – изучение свойств операций,

35

рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются.

И если первоначально алгебра была учением о решении уравнений, то в

XX веке она превратилась в науку об операциях и их свойствах.

Учитель начальных классов первым знакомит детей с различными

операциями над числами и их свойствами. Иногда в начальном курсе

математики начинается изучение операций над множествами и предло-

жениями. И чтобы грамотно научить детей видеть перспективу разви-

тия алгебраических понятий в процессе дальнейшего обучения, учите-

лю необходимо знать, что такое алгебраическая операция, какими свой-

ствами она может обладать.

1. Рассмотрим, например, хорошо известное нам сложение нату-

ральных чисел. Выполняя эту операцию, мы, имея два числа, находим

третье – сумму первых двух чисел. Так, складывая числа 5 и 9, получа-

ем число 14, которое так же, как и данные числа 5 и 9, является нату-

ральным числом.

Выполняя пересечение множеств, мы по двум данным множествам

находим новое, состоящее из общих элементов данных множеств.

Если рассмотреть вычитание натуральных чисел, то можно сказать,

что при его выполнении по двум заданным натуральным числам находят

третье – разность, но не всегда эта разность является натуральным чис-

лом. Но если рассмотреть вычитание целых чисел, то разность двух це-

лых чисел всегда будет целым числом. И в этом вычитание целых чисел

похоже на сложение натуральных чисел и пересечение двух множеств.

Обобщая, можно сказать, что, выполняя ту или иную операцию,

мы должны знать, на каком множестве она рассматривается. Далее, вы-

полняя операцию, мы по двум элементам х и у из выбранного множе-

ства находим третий элемент z того же множества. Он единственный, и

при этом ответ, вообще говоря, зависит от порядка этих элементов (как,

например, при вычитании чисел). Другими словами, при выполнении

операции упорядоченной паре элементов из множества X ставится в со-

ответствие единственный элемент того же множества. И если такая си-

туация складывается для всех пар элементов множества X, то операция

называется алгебраической.

36

Определение 1.9. Алгебраической операцией на множестве X

называется соответствие, при котором каждой паре элементов из

множества X сопоставляется единственный элемент того же

множества.

Примерами алгебраических операций могут служить:

− сложение на множестве натуральных чисел, поскольку сумма

любых натуральных чисел является натуральным числом. Иначе гово-

ря, при сложении каждой паре (х, у) натуральных чисел ставится в со-

ответствие единственное натуральное число, обозначаемое х + у;

− вычитание на множестве целых чисел, так как разность любых

целых чисел является целым числом или, говоря иначе, при вычитании

каждой паре (х, у) целых чисел ставится в соответствие единственное

целое число, обозначаемое х - у;

− деление на множестве рациональных чисел при условии, что ис-

ключается деление на нуль. Тогда частное любых рациональных чисел

есть рациональное число, то есть каждой паре (х, у) рациональных чи-

сел ставится в соответствие единственное рациональное число.

С алгебраической операцией связано понятие замкнутого множе-

ства: если на множестве X задана алгебраическая операция, то говорят,

что множество X замкнуто относительно этой операции.

Например, о множестве N натуральных чисел можно сказать, что

оно замкнуто относительно сложения и умножения.

Существуют операции, которые не являются алгебраическими.

Примером такой операции является вычитание на множестве натураль-

ных чисел: х - у будет натуральным числом лишь при условии, что

х > у, то есть во множестве натуральных чисел есть пары, которым

нельзя поставить в соответствие натуральное число.

Вычитание на множестве натуральных чисел не является алгебра-

ической операцией, но мы знаем, что если разность натуральных чисел

существует, то это число единственное. Аналогичной особенностью

обладает и деление натуральных чисел. Говорят, что вычитание и деле-

ние есть частичные алгебраические операции на множестве натураль-

ных чисел.

37

Определение 1.10. Частичной алгебраической операцией на

множестве X называется соответствие, при котором некоторым

парам элементов из множества X сопоставляется единственный

элемент того же множества.

Понятие алгебраической операции проходит через весь школьный

курс математики. Начинается этот процесс в начальных классах, где

происходит знакомство детей со сложением, которое сначала рассмат-

ривается на отрезке натурального ряда от 1 до 9 включительно, затем на

отрезке от 1 до 100 и т. д. Алгебраической эта операция становится то-

гда, когда ее начинают рассматривать на всем множестве натуральных

чисел. С умножением ситуация аналогичная.

Операции вычитания и деления в начальном обучении рассматри-

ваются как частичные алгебраические операции на множестве нату-

ральных чисел.

2. Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойства-

ми коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно от-

носительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объедине-

ние и пересечение множеств.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в

общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозначать

символами: * (читается – «звездочка») и о (читается – «кружок»).

Важнейшим свойством алгебраических операций является свой-

ство ассоциативности.

Определение 1.11. Алгебраическая операция *, заданная на

множестве Х, называется ассоциативной, если для любых элемен-

тов х, у и z из множества X выполняется равенство:

(x * y) * z = x *(y * z).

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно

опускать скобки и писать x * y * z вместо (x * y) * z и x * (y * z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых

натуральных чисел х, у и z выполняется равенство (х + у) + z = х + (у + z).

38

Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. Поэтому

сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством

ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чи-

сел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х - у) - z ≠ х - (у - z).

Например, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3).

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записы-

вать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но пе-

реставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нель-

зя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция *

коммутативна.

Определение 1.12. Алгебраическая операция * на множестве X

называется коммутативной, если для любых двух элементов х и у

из множества X выполняется равенство:

х * у = у * х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и

умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чи-

сел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равен-

ства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых

действительных чисел, следовательно, на множестве действительных

чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством

коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых

чисел: существуют целые числа х и у, для которых х - у ≠ у - х. Напри-

мер, 12 – 7 ≠ 7 – 12.

Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и о,

то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.

Определение 1.13. Алгебраическая операция о называется дис-

трибутивной относительно алгебраической операции *, если для

любых элементов х, у и z множества X выполняются равенства:

1) (x * y)oz = (xoz) * (yoz) и 2) zo(x * y) = (zox) * (zoy).

39

Если выполняется только равенство 1), то операцию о называют

дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняет-

ся только равенство 2), то операцию о называют дистрибутивной слева

относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и

слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: воз-

ведение в степень (она соответствует операции о в равенствах 1) и 2) и

умножение (она соответствует операции * в равенствах 1) и 2). Тогда,

согласно равенству 1), имеем: (х ∙ у)z = хz ∙ уz. Как известно из алгебры,

полученное равенство справедливо для любых натуральных чисел х, у

и z, то есть возведение в степень дистрибутивно справа относительно

умножения. В соответствии с равенством 2), получаем xyz = xy · xz.

Но это равенство выполняется не всегда, то есть операция возведения

в степень не является дистрибутивной слева относительно умножения.

Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень –

операция, не обладающая свойством коммутативности.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как из-

вестно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для любых

натуральных чисел х, у и z выполняются равенства:

(х + y) · z = x · z + x · z и z·(x +y) = z · x + z · y.

А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где пи-

сать множитель z – справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в

школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и

справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно

сложения.

Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях вы-

ражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и

обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь

эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за

которыми) стоит знак о. Проиллюстрируем сказанное на примере пре-

40

образования выражения (х + y) · (z + р). Так как умножение дистрибу-

тивно относительно сложения, то:

(x + y ) · (z + p) = x ·(z + p) + y(z + p)= (x ⋅ z + x ⋅ p) + (y ⋅ z + y ⋅ p).

А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно

записать без скобок. Следовательно, (х + у)⋅ (z + p) = x ⋅ z + +x ⋅ p + y ⋅

z + y ⋅ p. Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая

операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре

нейтральными и поглощающими.

Определение 1.14. Элемент е из множества X называется

нейтральным относительно алгебраической операции *, если для лю-

бого элемента х из множества X выполняются равенства х*е = е*х = х.

Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраи-

ческой операции существует, то он единственный.

Определение 1.15. Элемент р из множества X называется погло-

щающим относительно алгебраической операции *, если для любого

элемента х из множества X выполняются равенства х*р = = р*х = р.

Если поглощающий элемент относительно алгебраической опера-

ции существует, то он единственный.

Так, в множестве Z o целых неотрицательных чисел нуль является

нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого

х из множества Z o выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же чис-

ло нуль является поглощающим элементом относительно умножения:

для любого х из множества Z o верны равенства: х ⋅ 0 = 0 ⋅ х = 0.

Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной

сложению. Но, чтобы дать определение обратной операции в общем

виде, надо определить понятие сократимой операции.

Определение 1.16. Алгебраическая операция*, заданная на множе-

стве X, называется сократимой, если из условий а * х = а * у и х * а =

у * а следует, что х = у.

Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств

а + х = а + у и х + а = у + а следует, что х = у.

41

Определение 1.17. Пусть * – сократимая и коммутативная ал-

гебраическая операция, заданная на множестве X, тогда операция о

называется обратной для операции *, если хоу = z тогда и только

тогда, когда y * z = x.

Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция,

обратная сложению, означает: z = х - у тогда и только тогда, когда

y + z = x.

Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями

принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном

изучают множество Z o целых неотрицательных чисел, которое является

объединением множества натуральных чисел и нуля: Z o = N∪{0}. На

этом множестве рассматриваются алгебраические операции сложения и

умножения. Используя язык современной математики, можно сказать,

что в начальной школе изучают алгебру (Z o , +, ⋅). Ее основные характе-

ристики:

1) Сложение и умножение на множестве Z o ассоциативно и ком-

мутативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, то

есть:

2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение про-

изведения на нуль), то есть для любых целых неотрицательных чисел х,

у и а справедливы утверждения:

x + a = y + a ⇒ x = y;

x ⋅ a = y ⋅ a ⇒ x = y.

3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения

и поглощающим относительно умножения:

42