2. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА

ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

2.1. Лекционный материал

2.1.1. Понятие об аксиоматическом методе построения теории

План

1. Особенности построения аксиоматической теории.

2. Аксиомы Пеано.

3. Способы математических доказательств.

Содержание

1. Любая математическая теория представляет собой некоторую

совокупность предложений, описывающих объекты, изучаемые этой

теорией, и отношения между ними.

Метод построения научной теории, при котором в основу кладутся

некоторые исходные предложения, а все остальные предложения полу-

чаются как логические следствия из них, называется аксиоматическим

методом.

При аксиоматическом построении теории сначала выделяются не-

которые объекты и отношения между ними, которые принимаются за

основные (исходные, первоначальные, неопределяемые) понятия. Каж-

дое понятие, которого нет в списке основных, должно быть строго

определено.

После основных понятий и отношений формулируются основные

предложения – аксиомы, которые в данной теории принимаются без

доказательства. В аксиомах описываются свойства основных понятий и

отношения между ними.

В аксиоматической теории аксиомы не доказываются, но это не

означает, что формулировать их можно произвольно. Справедливость

аксиом обусловливается многовековой практической деятельностью

людей. Кроме того, система аксиом должна удовлетворять определен-

109

ным требованиям. Основными из этих требований являются: непроти-

воречивость, полнота и независимость.

Теория непротиворечива, если из ее аксиом нельзя вывести пред-

ложения, из которых одно является отрицанием другого, то есть пред-

ложения типа Р и P . Противоречивая теория беспредметна, для нее

нельзя найти никакой модели.

Система аксиом считается полной (категоричной), если любые две

ее модели изоморфны.

Система аксиом называется независимой, если никакая ее аксиома

не является логическим следствием остальных аксиом системы.

Каждое утверждение, которого нет в списке аксиом, должно быть

доказано, то есть логически выведено из аксиом или утверждений, до-

казанных ранее. Математическое утверждение, истинность которого

устанавливается путем доказательства, называется теоремой.

Аксиоматический метод построения теории зародился в работах

древнегреческих геометров. Образцом применения аксиоматического

метода до XIX в. была геометрическая система, известная под названи-

ем «Начала» Евклида (III в. до н. э.). Дальнейший вклад в развитие ак-

сиоматического метода внесли Н. И. Лобачевский (1792-1856 гг.)

и Я. Больяи (1802-1860 гг.)

Итальянский математик и логик Джузеппе Пеано в 1889 г. сделал

попытку аксиоматизировать арифметику. Дальнейшее развитие эта

идея получила в работах Д. Гильберта (1862-1943 гг.) и его учеников.

2. Рассмотрим аксиоматическое построение множества целых не-

отрицательных чисел. В качестве основных используются теоретико-

множественные понятия: множество, элемент, содержится (принадле-

жит). Само множество будем обозначать символом N 0 , а элементы – ма-

лыми буквами латинского алфавита: a, b, c, … . Основным отношением

выбирается отношение «непосредственно следовать за». Элемент,

непосредственно следующий за элементом a, будем обозначать a'.

Отношение «непосредственно следовать за» удовлетворяет сле-

дующим аксиомам.

110

Аксиома 2.1. Во множестве N0 существует элемент, непосредственно

не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его ну-

лем и обозначают 0.

В символах аксиома может быть записана так:

(∃0 ∈ N 0 )(∀a ∈ N 0 )(a′ ≠ 0).

Аксиома 2.2. Для каждого элемента a из N 0 существует единствен-

ный элемент a', непосредственно следующий за a.

Аксиома 2.3. Для каждого элемента a из N 0 существует не более

одного элемента, за которым непосредственно следует a.

(∀a, b ∈ N 0 )(a′ = b′ ⇒ a = b ).

Аксиома 2.4 (аксиома индукции). Если множество M есть подмно-

жество множества N 0 и известно, что

а) нуль содержится в M;

б) из того, что a содержится в M следует, что и a' содержится в M,

то множество M совпадает с множеством N 0 .

(0 ∈ M ) ∧ ((∀a )(a ∈ M ⇒ a′ ∈ M )) ⇒ M = N 0 .

Опираясь на введенное отношение «непосредственно следовать

за» и аксиомы 2.1-2.4, характеризующие множество N 0 , можно дать

следующее определение целого неотрицательного числа.

Определение 2.1. Множество N0, для элементов которого уста-

новлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяю-

щее аксиомам 2.1-2.4, называется множеством целых неотрицатель-

ных чисел, а его элементы – целыми неотрицательными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов

множества N 0 . Следовательно, можно рассматривать различные модели

системы аксиом 2.1-2.4. В качестве одной из моделей рассмотрим ряд

чисел. Для их обозначения будем использовать символы, которые назо-

вем цифрами: 0' = 1, 1' = 2, 2' = 3, 3' = 4, … . Аксиомы Пеано описывают

процесс образования этого ряда. Согласно аксиоме 2.1 этот ряд начина-

ется с числа 0; за каждым целым неотрицательным числом следует

единственное целое неотрицательное число (аксиома 2.2); каждое целое

неотрицательное число непосредственно следует не более чем за одним

111

целым неотрицательным числом (аксиома 2.3); начиная с нуля и пере-

ходя по порядку к числам, непосредственно следующим друг за другом,

получаем все множество целых неотрицательных чисел (аксиома 2.4).

Последняя аксиома указывает на бесконечность ряда целых неотрица-

тельных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, ... .

3. В математике, как и в других науках, широко используются де-

дуктивные рассуждения. При этом доказательство истинности того или

иного высказывания представляет собой цепочку умозаключений, про-

водимых по правилам вывода. В переводе на русский язык слово «де-

дукция» означает «вывод».

По способу ведения доказательства делятся на прямые и косвенные.

Прямое доказательство основывается на истинных фактах, из ко-

торых выводится истинность доказываемого утверждения. К прямым

относятся все те доказательства, в которых не используются рассужде-

ния «от противного».

При косвенном доказательстве истинность утверждения обосно-

вывается с помощью опровержения противоречащего утверждения. То

есть в ходе косвенного доказательства устанавливается ложность отри-

цания утверждения, что (согласно закону исключенного третьего) озна-

чает истинность самого утверждения. Примерами косвенных доказа-

тельств являются все доказательства способом от противного.

Наряду с дедуктивными рассуждениями в математике, физике, био-

логии и других науках большую роль играют рассуждения, основанные

на опыте и интуиции, так называемые индуктивные рассуждения.

Умозаключение называется индуктивным, если на основании того,

что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делает-

ся вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Слово «индукция» в переводе на русский язык означает «наведение».

Различают полную и неполную индукции.

Полная индукция заключается в том, что общий случай разделяет-

ся на конечное число частных случаев, каждый из которых рассматри-

вается отдельно. Поскольку при разделении и доказательстве каждого

112

отдельного случая используются общие положения логики, то метод

полной индукции на самом деле является дедуктивным.

Рассуждениями по неполной индукции часто пользуются в

начальном курсе математики. Например, при изучении переместитель-

ного закона умножения во 2-м классе сначала учащимся демонстриру-

ется несколько примеров типа: 4 • 2 = 4 + 4 = 8, 2 • 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

Затем предлагается найти площадь одного и того же прямоугольника

двумя способами. После этого формулируется общее утверждение:

a • b = b • a,

которое предлагается учащимся для запоминания.

Демонстрация любого конечного множества числовых примеров

не является доказательством того, что утверждение справедливо для

всех пар чисел, а поэтому рассуждения по неполной индукции могут

привести к неправильным выводам. Вместе с тем, обучение индуктив-

ным умозаключениям – весьма важная задача. В ходе таких умозаклю-

чений формируется умение подмечать закономерности, высказывать

предположения, делать обобщения. Поэтому не следует противопо-

ставлять друг другу индуктивные и дедуктивные умозаключения, нуж-

но просто правильно понимать роль каждого из них.

Особое место в ряду способов математических доказательств за-

нимает метод математической индукции. Основан он на аксиоме 2.4

и формулируется следующим образом.

Теорема 2.1. Если утверждение P(n) с целой неотрицательной

переменной n истинно для числа 0 и из того, что оно истинно для

некоторого произвольно выбранного целого неотрицательного числа

a, следует его истинность для числа a', непосредственно следующе-

го за a, то утверждение P(n) истинно для любого целого неотрица-

тельного числа n.

Доказательство. Обозначим через M множество тех и только тех

целых неотрицательных чисел, для которых утверждение P(n) истинно.

Тогда согласно условию теоремы имеем: 1) 0 ∈ M ; 2) a ∈ m ⇒ a′ ∈ M .

Отсюда на основании аксиомы 2.4 заключаем, что M = N 0 , то есть

113

утверждение P(n) истинно для любого целого неотрицательного числа

n. Теорема доказана.

Как следует из теоремы 2.1, доказательство методом математиче-

ской индукции состоит из трех частей:

1) сначала доказывают справедливость утверждения для n = 0,

то есть доказывают истинность высказывания P(0);

2) предполагают, что утверждение справедливо для n = a, где a –

некоторое произвольно выбранное целое неотрицательное число,

то есть предполагают истинность высказывания P(a);

3) пользуясь предположением, доказывают справедливость утвер-

ждения для n = a', то есть доказывают истинность высказывания P(a').

Если условия 1) – 3) выполнены, то есть P(0) ∧ (P(a ) ⇒ P(a′)) – ис-

тинное высказывание, то делают вывод о том, что утверждение P(n)

справедливо для любого целого неотрицательного числа.

Теорема 2.1*. (Вторая форма метода полной математической

индукции). Если утверждение P(n) с целой неотрицательной пере-

менной n истинно для числа 0 и из того, что оно истинно для всех

целых неотрицательных чисел, меньших некоторого числа a, следу-

ет его истинность и для самого числа a, то утверждение P(n) ис-

тинно для любого целого неотрицательного числа n.

Доказательство теоремы проведем методом от противного.

Предположим, что для утверждения P(n) выполняется условие данной

теоремы, но не выполняется ее заключение. В таком случае существуют

натуральные числа, для которых утверждение P(n) ложно. Пусть a –

первое из таких чисел в натуральном ряду. Тогда для всех чисел, мень-

ших a, утверждение P(n) истинно, а для самого a ложно, что противо-

речит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверно,

и теорема доказана.

Доказательство методом математической индукции необязательно

начинать с доказательства истинности утверждения для n = 0. В каче-

стве 0 на первом шаге может быть взято любое целое неотрицательное

число m. В случае выполнения двух следующих шагов утверждение

P(n) будет доказано для любого целого неотрицательного числа n ≥ m.

114

Приведем пример доказательства утверждения методом математи-

ческой индукции. Докажем, что для любого целого неотрицательного

числа n ≥ 1 истинно равенство

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2 )

.

3

Доказательство. 1. Проверим истинность равенства для n = 1.

В этом случае левая часть равенства состоит из одного слагаемого

1 • 2 (1 • 2 = 2), а правая часть имеет вид:

1(1 + 1)(1 + 2 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3

== 2.

33

Так как 2 = 2, то для n = 1 равенство истинно.

2. Предположим, что данное равенство истинно для n = k, где k –

некоторое произвольно выбранное целое неотрицательное число, то

есть предположим истинность равенства

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + k (k + 1) =

k (k + 1)(k + 2 )

.

3

3. Пользуясь предположением, докажем, что данное равенство ис-

тинно для n = k' = (k + 1), то есть

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2 ) =

(k + 1)(k + 2)(k + 3) .

3

По предположению сумма первых k слагаемых левой части по-

следнего равенства равна

k (k + 1)(k + 2 )

,

3

а значит, левую часть можно записать в виде:

k (k + 1)(k + 2 )

+ (k + 1)(k + 2 ).

3

Легко увидеть, что последнее выражение тождественно равно вы-

ражению

(k + 1)(k + 2)(k + 3) .

3

Следовательно, истинность равенства для n = k + 1 доказана.

115