Учебное пособие «Математика. Часть II» является продолжением

серии пособий, предназначенных для студентов факультета педагогики

и методики начального образования. Уже вышли в свет: «Математика.

Часть I. Множества. Элементы комбинаторики», «Математика. Часть I.

Математические утверждения и их структура».

Данное пособие состоит из двух частей: теоретической и практи-

ческой. В теоретической части дается лекционный материал по теме

курса «Элементы алгебры» и «Различные подходы к построению мно-

жества целых неотрицательных чисел», в практической части – задания

для самостоятельной работы и серия проверочных работ.

Цель данного издания – помочь студентам обобщить знания

о числовых выражениях, равенствах и неравенствах, выражениях с пе-

ременной, уравнениях и неравенствах с одной переменной, основных

методах решения систем уравнений, а также рассмотреть различные

подходы к построению множества целых неотрицательных чисел.

5

1.1. Лекционный материал

1.1.1. Отношения

План

1.

2.

3.

4.

Понятие бинарного отношения.

Способы задания отношения.

Свойства отношений.

Виды отношений.

Содержание

1. Изучение отношений между объектами важно для познания как

самих объектов, так и для познания реального мира в целом.

Чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в

начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие

математические идеи, связанные с отношениями, учителю надо знать, ка-

кова математическая сущность любого отношения, какими свойствами

они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Рассмотрим понятие отношения на множестве.

Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на мно-

жестве, рассмотрим конкретный пример. Пусть на множестве X = {2, 4,

6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух

чисел из множества X можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6,

2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать ина-

че, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но

все эти пары есть элементы декартова произведения Х × Х, поэтому об

отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что

оно является подмножеством множества Х × Х.

Вообще бинарные отношения на множестве X определяют следу-

ющим способом:

Бинарным отношением на множестве X называется всякое под-

множество декартова произведения Х × Х.

6

Рис. 1.1

Рис. 1.2

На том же множестве X можно рассмотреть другое отношение –

«кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю

(стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число

кратно самому себе (рис. 1.2).

2. Отношение можно задать при помощи предложения с двумя пе-

ременными. Так, например, заданы рассмотренные выше отношения

7

8

Видим, что граф отношения равенства отличается от двух других

наличием петель в каждой его вершине. Эти петли – результат того, что

отношение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок ра-

вен самому себе.

Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлексив-

ности или оно рефлексивно.

Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если

о каждом элементе множества X можно сказать, что он находит-

ся в отношении R с самим собой.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

Если отношение R рефлексивно на множестве X, то в каждой вер-

шине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное

утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает от-

ношения, обладающие свойством рефлексивности.

Примеры рефлексивных отношений:

– отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое

натуральное число кратно самому себе);

– отношение подобия треугольников (каждый треугольник подо-

бен самому себе).

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не

обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности

9

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с

каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от

у к х. Справедливо и обратное утверждение: граф, содержащий вместе с

каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является

графом симметричного отношения.

В дополнение к рассмотренным двум примерам симметричных

отношений присоединим еще такие:

10

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если

две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соеди-

нены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством

антисимметричности, например, обладают:

– отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может

быть больше х);

– отношение «больше на 2» для чисел (если х больше у на 2, то у

не может быть больше на 2 числа х).

Существуют отношения, не обладающие ни свойством симмет-

ричности, ни свойством антисимметричности.

Рассмотрим, например, отношение «быть сестрой» на множестве

детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша и Толя. Тогда

граф отношения «быть сестрой» будет таким, как на рисунке 1.5. Он

11

Рис. 1.5

Обратим пристальное внимание на одну особенность графа отно-

шения «длиннее» (рис. 1.4). На нем можно заметить: если стрелки про-

ведены от е к а и от а к с, то есть стрелка от е к с; если стрелки прове-

дены от е к b и от b к с, то есть стрелка и от е к с и т. д. Эта особенность

графа отражает важное свойство отношения «длиннее»: если первый

отрезок длиннее второго, а второй – длиннее третьего, то первый –

длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством

транзитивности, или транзитивно.

Отношение R на множестве X называется транзитивным, ес-

ли выполняется условие: из того, что элемент х находится в от-

ношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R

с элементом r, следует, что элемент х находится в отношении R

с элементом r.

Используя символы, это определение можно записать в таком виде:

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих

от х к у и от у к z, содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо

и обратное утверждение.

Кроме отношения «длиннее», на множестве отрезков свойством

транзитивности обладает отношение равенства: если отрезок х равен

12

Например, свойством связанности обладают отношения «больше»

для натуральных чисел: для любых различных чисел х и у можно

утверждать, что либо х > у, либо у > х.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены

стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые свойством связанности не обла-

дают. Таким отношением, например, является отношение делимости на

множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и у, что ни

число х не является делителем числа у, ни число у не является делите-

лем числа х.

Выделенные свойства позволяют анализировать различные отно-

шения с общих позиций – наличия (или отсутствия) у них тех или иных

свойств.

Так, если суммировать все сказанное об отношении равенства, за-

данном на множестве отрезков (рис. 1.5), то получается, что оно ре-

13



4. Рассмотрим на множестве дробей Х =  , , , , ,  отноше-

1 1 1 2 2 3

2 3 4 4 6 6

ние равенства.

Это отношение:

− рефлексивно, так как всякая дробь равна сама себе;

– симметрично, так как из того, что дробь

ет, что дробь

mp

равна дроби ;

qn

mp

равна дроби и дробь

qn

mp

равна дроби , следу-

qn

– транзитивно, так как из того, что дробь

rrmp

равна дроби , следует, что дробьравна дроби .

qnss

Про отношение равенства дробей говорят, что оно является отно-

шением эквивалентности.

Отношение R на множестве X называется отношением экви-

валентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлек-

сивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить отношения

равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых

(при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

Почему в математике выделили этот вид отношений?

Рассмотрим отношение равенства дробей, заданное на множестве:

1 1 1 2 2 3

Х = , , , , , .

2 3 4 4 6 6

14

Видим, что множество разбилось на три подмножества:

Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с

множеством X, то есть имеем разбиение множества X на классы. Это не

случайно.

Вообще, если на множестве X задано отношение эквивалентности,

то оно порождает разбиение этого множества на попарно не пересека-

ющиеся подмножества (классы эквивалентности).

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве дро-



бей Х =  , , , , ,  соответствует разбиение этого множества на

1 1 1 2 2 3

2 3 4 4 6 6

классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между

собой дробей.

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, за-

данное на множестве X, порождает разбиение этого множества на клас-

сы, то оно является отношением эквивалентности.

Рассмотрим, например, на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно порож-

дает разбиение множества X на классы: в один попадут все числа, при де-

лении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй –

числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 1, 4, 7,

10), и в третий – все числа, при делении которых на 3 в остатке получает-

15

{

1 2 3

, ,

2 4 6

} неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь

31

может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит

62

результата вычислений.

Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются эле-

менты, не различимые с точки зрения некоторого отношения, то счита-

ют, что класс эквивалентности определяется любым своим представи-

телем, то есть произвольным элементом этого класса. Так, любой класс

16

17