Розрахунок середніх величин

Вид середньої		Розрахункова формула середньої
		простої		зваженої
Середня арифметична,		,	(3.1.1)	,	(3.1.2)
Середня гармонійна,		,	(3.2.1)	,	(3.2.2)
Середня геометрична,		,	(3.3.1)1	,	(3.3.2)1
Середня хронологічна,		,			(3.4)
Середня квадратична,		,	(3.5.1)	,	(3.5.2)
де,	хі – значення ознаки; fі – частота (вага); w – вага (w=x.f); n – обсяг сукупності (n=Σf); nj – часовий інтервал (Σnj=n); m – кількість інтервалів; П – символ добутку.

Середня арифметична і гармонічна використовуються для характеристики статичних рядів розподілу, сума окремих значень ознаки в яких утворює загальний обсяг ознаки. Розрахункові формули простої середньої (арифметичної і гармонійної) використовуються для не згрупованих даних.

В свою чергу, середня геометрична і хронологічна використовуються для характеристики динамічних (часових) рядів. А саме, середня хронологічна показує на якому рівні знаходився показник досліджуваного об’єкту в певному проміжку часу. Середня геометрична – на скільки змінилася характеристика досліджуваного об’єкту за певний період часу. Середня квадратична величина належать до класу степеневих середніх. Головною сферою застосування її є вимірювання варіації (див. л. р. № 5).

Контрольні питання

1. Середня арифметична – це абстрактна величина чи емпірична?

2. У яких випадках обчислюють середню геометричну, середню гармонійну, середню хронологічну?

3. Чим відрізняються середні арифметичні прості від зважених?

Лабораторна робота № 4. Аналіз показників центру розподілу варіаційного ряду

Мета роботи: Набути практичних навиків чисельного аналізу варіаційного ряду.

Послідовність виконання роботи:

1. Для одержаних результатів лабораторних робіт № 1 та № 2 інтервальних рядів розподілу визначити такі характеристики:

• середню арифметичну зважену (для кількості підприємств та обсягу випуску);

• модальний інтервал та моду;

• медіанний інтервал та медіану;

• квартилі.

Таблиця 4.1

Розподіл промислових підприємств за рівнем витрат на 1 грн. Товарної продукції

Значення ознаки, х	Частота, f
Витрати на 1 грн. товарної продукції	Кількість підприємств, од. (f1i)	Обсяг випуску, тис. шт.(f2i)
[хmin; ...)
...
[…,хmax]
Разом:

2. На основі розрахованих чисельних параметрів зробити висновки.



Аналіз варіаційного ряду розподілу полягає у виявленні закономірностей зміни частот залежно від зміни кількісної ознаки, яка покладена в основу групування.

При аналізі варіаційних рядів найуживанішими є такі групи показників:

характеристики центра розподілу;

характеристики розміру варіації;

характеристики форми розподілу.

До характеристик центра розподілу належать: середня, мода, медіана, квартиль (чверть) і десята частина.

Середня величина є узагальнюючою мірою ознаки, що варіює, у статистичній сукупності. Показник у формі середньої характеризує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. У структурованій сукупності при розрахунку середньої арифметичної зваженої варіантами можуть бути як окремі значення ознаки, так і групові середні :

(4.1)

Окрім типового (середнього) рівня важливе значення має домінанта, тобто найбільш поширене значення ознаки. Таке значення називається модою М_о:

(4.2)

де - нижня межа модального інтервалу;

h – довжина інтервалу.

, , - частоти (відносні частоти) відповідно модального, передмодального та післямодального інтервалів.

Модальний інтервал – це інтервал, який має найбільшу частоту.

Медіаною називають варіант, що розміщений посередині впорядкованого варіаційного ряду.

Медіана ділить ряд на дві однакові частини за чисельністю одиниць сукупності. Значення медіани для інтервального варіаційного ряду обчислюють за формулою:

(4.3)

де - нижня межа медіального інтервалу;

- сума частот (відносних частот);

- сума частот, нагромаджених перед медіальним інтервалом.

Медіанний інтервал – це той інтервал, на який припадає перша нагромаджена частота, що перевищує половину всього обсягу сукупності.

Водночас з модою та медіаною для повнішої характеристики сукупності використовують варіанти, що займають у впорядкованому ряді цілком визначене місце. До таких варіантів належать чверті (квартилі: Q₁, Q₂=M_e, Q₃), які ділять ряд за сумою частот на чотири однакові частини. Вони розраховуються аналогічно, як і медіана, лише за умови зміни дробового значення перед величиною суми частот.

(4.4)

(4.5)

де - нижня межа відповідного квартильного інтервалу;

- сума частот (відносних частот);

- сума частот, нагромаджених перед відповідним квартильним інтервалом.

Перший (третій) квартильний інтервал – це той інтервал, на який припадає перша нагромаджена частота, що перевищує одну четверту (три четвертих) всього обсягу сукупності.

Контрольні питання

1. Які показники використовуються при аналізі варіаційних рядів?

2. Що таке мода і медіана?

4. Що таке медіальний і модальний інтервали?

5. Що таке квартильний інтервал?