2. Основные понятия и зависимости

Под кручением понимают такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Брус, работающий на кручение, называют валом. Крутящий момент в поперечном сечении вала, нагруженного моментами, определяется по формуле

М = , (2.1)

где M -i -й скручивающий момент, приложенный по одну сторону от указанного сечения; n- число моментов, приложенных к отсеченной части вала. При записи этого соотношения принимается, например, следующее условное правило знаков, согласно которому крутящий момент в рассматриваемом сечении считается положительным, когда М вращает отсеченную часть вала против хода часовой стрелки, относительно оси вала Z, если смотреть со стороны отброшенной части.

Условие прочности при кручении круглого вала записывается в виде

, (2.2)

где - допускаемое касательное напряжение;

W = - полярный момент сопротивления сечения вала с наружным диаметром D и диаметром соосного отверстия d, где .

Взаимный угол поворота концевых сечений вала со ступенчатым изменением жесткости определяют по формуле

, (2.3)

где G - модуль сдвига i-того участка; M -крутящий момент на i-том участке; l -длина i-го участка; полярный момент инерции сечения i-го участка вала; m- число участков вала.

Условие жесткости по относительному углу закручивания представляется в виде

, (2.4)

где - допускаемое значение относительного угла закручивания.

Если рассчитывается статически неопределимый вал, то раскрытие статической неопределимости проводят по следующему алгоритму:

1. составляют уравнение равновесия;

2. устанавливают степень статической неопределимости;

3. рассматривая схему деформирования вала, составляют уравнение совместности перемещений;

4. в уравнении совместности перемещений заменяют углы поворота сечений через крутящие моменты и жесткости ступней вала с помощью формулы (2.3);

5. решая систему из уравнений равновесия и совместности перемещений, определяют реактивные моменты.

2. Пример решения задачи

Расчет на прочность и жесткость статически определимого вала

К стальному валу кольцевого сечения (рис. 2.2) приложены заданные скручивающие моменты М =0,2 кН·м и М =1 кН·м. Требуется:

1) при заданном значении допускаемого касательного напряжения определить диаметры вала, приняв d=0,8 D;

2) проверить жесткость вала, приняв модуль сдвига G=8 и допускаемый относительный угол закручивания . Длины участков вала: a=0,2 м; b=0,4 м; с=0,6 м.

Решение

Брус работает на кручение. Проектный расчет вала на прочность выполняем из условия прочности (2.2), откуда следует, что полярный момент сопротивления сечения вала

, (2.5)

Учитывая, что вал имеет постоянное по всей длине кольцевое сечение, из (2.5) получим формулу для расчета наружного диаметра вала

, (2.6)

где - расчетный крутящий момент, который для вала постоянного сечения равен максимальному по абсолютной величине крутящему моменту, установленному по эпюре крутящих моментов.

Для построения эпюры крутящих моментов вначале разбиваем вал на участки. Границами участков в нашем случае служат сечения, в которых приложены внешние моменты. В рассматриваемой задаче участков будет два, пронумеруем их справа налево. Делая сечения на каждом из выделенных участков и используя соотношение (2.1), запишем уравнения крутящих моментов, рассматривая каждый раз, расположенную справа от сечения часть вала (чтобы не определять реактивный момент).

Участок I;

Участок II;

По полученным значениям строим эпюру крутящих моментов в координатах “ Z ” в соответствующем масштабе (см. рис. 2.2).

Проверку правильности построения эпюры крутящих моментов производим, используя следующее правило. В сечении, в котором приложен внешний момент, на эпюре должен быть разрыв (скачок) на величину этого момента. Из эпюры крутящих моментов следует, что расчетный крутящий момент

По формуле (2.6) рассчитываем наружный диаметр вала

Для установления номинального значения наружного диаметра вала округляем его расчетное значение до ближайшего целого в мм. и принимаем D=48 мм. Тогда внутренний диаметр вала d=

Выполним проверочный расчет вала на жесткость, используя условие жесткости (2.4).

При постоянной по длине вала крутильной жесткости G наибольший относительный угол закручивания будет иметь место на первом участке, на котором м

a +2b+c

a

Z

Z

M

M

I

II

0

1.0

Z, м

D

+

+

+

Мк,

кH·м

0.8

.

.

.

.

Рис. 2.2

Допускаемый относительный угол закручивания

Так как , то условие жесткости выполняется.