3. Приращение функции и ее аргумента, аппроксимация функций

Многие математические теории возникли из практических потребностей. В 17 веке в связи с развитием техники возникла потребность приближенного вычисления значений функций.

Пусть задана функция . Рассмотрим ее значение в фиксированной точке ( ) и в соседних точках ( ). Разность между значениями аргумента функции мы в этой ситуации

будем называть приращением аргумента, а разность значений функции будем называть соответствующим приращением функции. Проводя конкретные расчеты для разных функций, подметили закономерность: . Слагаемое является главной частью приращения «приличной» функции, а константа (по отношению к ) является важной величиной, «производимой» функцией.

4. Определение дифференциала и производной функции

Дадим формальные определения того, что было в предыдущем пункте.

Определение 2. (Дифференцируемости, дифференциала и производной функции.) Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке представляется в виде , где - функция, обладающая свойством , величина, зависящая от , не зависящая от и называемая производной функции . При этом главная часть приращения - величина называется дифференциалом функции в точке .

Теорема 4. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует предел , и при этом .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , т. е. выполнено соотношение . Разделим обе части этого равенства на и перейдем к пределу при . Следовательно, , что и означает, что . Достаточность. Пусть существует предел . Из определения предела функции отсюда следует, что при достаточно малых по модулю, не нулевых для любого, наперед заданного, сколь угодно малого выполнено соотношение или . Отсюда следует выполнение соотношение , что равносильно нужному условию . Теорема доказана.

4. Геометрический и механический смысл производной функции

Итак, исторически первым появилось понятие дифференциала, за которым появилось понятие производной. Понятие производной оказалось впоследствии более актуальным. Словами определение производной можно дать следующим образом. Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Еще раз напомним, что это определение записывается формулой .

Пусть задана функция и точка графика функции с абсциссой . Тангенс угла наклона секущей при стремится к тангенсу угла наклона

соответствующей касательной. Итак, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равен тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с координатами .

Пусть тело движется прямолинейно, и путь, пройденный за время , равен . Следовательно, за время на временном промежутке пройденный путь составит . Если этот пройденный путь поделить на затраченное время , то полученная величина является средней скоростью тела на этом промежутке времени. В то же время предел этой средней скорости при стремлении промежутка времени к 0 с одной стороны, является мгновенной скоростью тела, а с другой стороны, этот предел равен производной от пройденного пути по времени, т. е. . Этот факт называется механическим или физическим смыслом производной.