Иктиб ита юфу курс лекций по математике

Глава 4 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Лекция 15 Дифференциал функции, производная

Классификация точек разрыва. Элементарные функции, непрерывность элементарных функций в области своего определения. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Приближение функции, приращение функции, главная часть приращения функции – дифференциал. Производная функции, геометрический и механический смысл производной. Вычисление производной – таблица производных и правила вычисления производной.

Непрерывность функции, классификация точек разрыва

Определение. Функции называется непрерывной в точке , если .

Функция непрерывна в точке , если она определена в окрестности точки , имеет односторонние пределы слева и справа при подходе к этой точке, эти пределы равны и совпадают со значением функции в этой точке.

Итак, функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки , имеет предел слева и справа при подходе к этой точке, эти пределы равны и совпадают со значением функции в этой точке.

Давайте уточним понятие одностороннего предела. Мы будем использовать запись для обозначения предела справа функции . В определениях пределов по Коши и по Гейне просто добавляются слова, что или соответственно, .

Итак, (предел функции справа по Коши) предел функции при стремящемся к справа равен (записывается ), если для каждого положительного, сколь угодно малого числа найдется число , обладающее тем свойством, что при условии и выполнено условие .

Запишем это определение в терминах математической логики: .

Соответственно, (предел функции справа по Гейне) Предел функции при стремящемся к справа равен (записывается ), если для каждой числовой последовательности такой, что и выполнено условие .

Как мы помним, определения пределов по Коши и по Гейне эквивалентны.

Аналогично введем понятие левостороннего предела. Мы будем использовать запись для обозначения предела слева функции . В определениях пределов по Коши и по Гейне просто добавляются слова, что или соответственно, .

Главный интерес в исследовании функций играют точки, в которых функция не является непрерывной. Такие точки называются точками разрыва функции. В связи с этим необходимо найти все точки разрыва заданной функции и правильно их классифицировать.

Точка разрыва функции точкой устранимого разрыва функции, если . Такое название связано с тем, что после изменения функции в одной точке (положив ) функция становится непрерывной в этой точке. Примером устранимого разрыва является точка функции .

Точка разрыва функции скачком функции (скачок функции), если конечные пределы и существуют и при этом . Примером скачка разрыва является точка функции .

Устранимые разрывы и скачки функции называются разрывами 1 рода. Остальные точи отсутствия непрерывности называются разрывами 2 рода.