3. Динамика вращательного движения

• Момент силы F относительно некоторой оси вращения:

,

где R – расстояние между линией действия силы и осью вращения; J – момент инерции;  – угловое ускорение.

• Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) диска (цилиндра): ,

где R - радиус диска (цилиндра);

б) материальной точки: ;

в) тонкого стержня длиной l: ;

г) шара с радиусом R: .

• Закон сохранения момента импульса:

или для двух тел (i=2),

,

где и – моменты инерции тел и угловые скорости в начальный момент времени; и – в момент времени, принятый за конечный.

• Кинетическая энергия вращающегося тела:

.

1.6. Примеры решения задач Задача №1

Зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид . Определите силу, действующую на тело с массой m=1 кг в конце второй секунды.

Решение

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна:

.

Мгновенное значение ускорения а определяется первой

производной от скорости по времени или второй производной от пути по

времени:

При t=2 с . Тогда

Задача №2

Тело массой 2 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно так, что зависимость пройденного пути от времени выражается уравнением S=2t²+3t+1. Определите работу силы за 10 с сначала ее действия.

Решение

Работа, совершаемая силой, выражается через интеграл:

. (1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона:

. (2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени. В соответствии с этим получим:

(3)

, (4)

. (5)

Тогда из формулы (3) имеем

(6)

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим:

Работа, совершаемая силой за 10 с сначала движения, составит:

.

Задача №3

Диск радиусом R=10 см вращается так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения:

1. тангенциальное ускорение ;

2. нормальное ускорение ;

3. полное ускорение .

Решение

Найдем угловую скорость, взяв производную по времени от заданного уравнения:

, при .

Угловое ускорение: , при

.

Тангенциальное ускорение:

.

Нормальное ускорение: .

Полное ускорение: .