Практические рекомендации при сравнении бмф

I. В тех случаях, когда числитель и знаменатель представляют собой произведение нескольких БМФ, то каждую из них можно заменить эквивалентной БМФ, так как в этом случае и всё произведение заменится эквивалентной ему величиной.

II. В тех случаях, когда в числителе или знаменателе стоит алгебраическая сумма БМФ, то при раскрытии неопределённостей нельзя заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами, так как такая замена может привести к неверному результату или вовсе к потери смысла.

III. В теореме №4 показана возможность замены только всего выражения, стоящего в числителе или знаменателе на эквивалентную ему величину.

IV. Обычно при сравнении БМФ одну из них условно принимают за основную.

1. Пусть основная БМФ. Тогда БМФ вида гдe считаются простейшими БМФ.

2. Сравнение БМФ проводят не с основной БМФ, а с простейшими БМФ вида

3. При этом для каждой БМФ подбираются число k такое, чтобы

Определение №11. Простейшую бесконечно малую функцию экви- валентную данной БМФ называют её главной частью.

Пример №6 Если принять за основную БМФ, то главной частью БМФ будет так как [1].

4. Термин “главная часть” имеет тот смысл, что после вычитания из БМФ её главной части остаётся величина являющаяся БМФ бо- лее высокого порядка малости, чем и

5. Следовательно, при замене БМФ её главной частью допуска-ется абсолютная погрешность .

6. Абсолютная погрешность будет БМФ высшего порядка малос- ти по сравнению с величинами и

7. Тогда и относительная погрешность будет величиной БМФ.

8. Относительная погрешность может быть сделана сколь угодно малой при

9. Из рассмотренных пределов, если считать основной БМФ, то:

a) для главной частью будет так как

b) для главной частью будет так как

c) для главной частью будет так как ^{и т.д.}

10. Выбрав основную БМФ мы можем находить главные части многих БМФ, сравнимых с

11. Причём для заданной БМ существовать много эквивалентных БМФ. Но глав- ная часть у неё одна, так как при функция будет эквивалентна функциям и т.д. Но главной частью будет только функция а все остальные являются простейшими.

Выделение главной части бмф

Выделение главной части БМФ осуществляется следующим образом:

1. Пусть основная БМФ.

2. Требуется выделить главную часть БМФ

3. Определим сначала, если это возможно, порядок малости по отношению к то есть найдём такое число при котором

4. Тогда, очевидно, что величина и будет являться искомой главной час- тью, так как

5. Формула часто используется в приближённых вычислениях:

1) Так, при 

По этой формуле можно приближённо вычислить корни -ой степени.

2) Эквивалентность БМФ и при можно использовать для при- ближённого вычисления логарифмов по формуле: (при малых значе- ниях ) [11].