1. Пусть , тогда .

2. Прологарифмируем по основанию последнее равенство: или или .

3. Функция строго монотонна и непрерывна на R.

4. Следовательно, ей обратная функция монотонна и непрерывна при .

5. При , таким образом, записи и эквивалентны.

6. Применим для вычисления предела теорему о замене переменной, приняв , , получим:

ч.т.д.

Бесконечно малые функции (бмф) Понятие бесконечно малых функций

Определение №1. Функция называется БМФ или просто бесконечно малой в точке если предел этой функции равен нулю в указанной точке:

^{Аналогично определяются БМФ при}

Определение №2. (“На языке ” или по Коши). Функция называется БМФ в точке если

Определение №3. (На «языке последовательностей» или по Гейне). Функция называется БМФ в точке если для любой сходящейся к x последова- тельности значений аргумента соответствующая последователь- ность значений функции является БМП.

Лемма №1. Предел функции в точке существует и равен А тогда и только тогда, когда ее значения можно представить в виде: где – БМФ при т.е. A – конечное число.

Доказательство

Доказательство необходимости

1. Пусть Требуется доказать, что значения функции можно предста- вить в виде: где БМФ при

2. Так как то

3. Переходя пределу в последнем равенстве при получим

значит,

т.е. – БМФ при _Ч.т.д.

Доказательство достаточности

1. Пусть Требуется доказать, что где A – конечное число.

2. Перейдем к пределу в равенстве при

3. Получим:

4. Таким образом, где A – конечное число.

Ч.т.д.

Замечание №1. Из данной леммы получаем специальное представление функ- ции, имеющей в точке предел, равный Говорят, что функция в окрестности точки отличается от своего предела на бесконечно малую функцию [11].

Свойства бесконечно малых функций

БМФ обладает теми же свойствами, что и БМП, т.е. справедлива теорема.

Теорема №1. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа БМФ при а также произведение БМФ на ограниченную функцию являются БМФ при

Доказательство теоремы следует из соответствующей теоремы о БМП и определе- ния предела функции в точке по Гейне. Доказать самостоятельно.

Замечание №2. Все утверждения о БМФ, верные при справедливы и для БМФ при

Бесконечно большие функции (ББФ)

Понятие бесконечно больших функций

Определение №4. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при если

Определение №5. (На языке « »). Функция называется ББФ (или просто бесконечно большой) при если

Замечание №3. Аналогично определяются ББФ при

[4].

Связь между бесконечно большими и

бесконечно малыми функциями

Как и для соответствующих последовательностей имеет место следующая теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Теорема №2. Функция определенная на проколотой окрестности точки ^{так что будет являться БМФ тогда и} только тогда, когда функция будет являться ББФ при

Доказательство

Доказательство необходимости

^{1. Пусть Требуется доказать, что}

2. Так как БМФ, то согласно определению БМФ

3 Последнее неравенство можно переписать так: определив обратные величины неравенства п.2 и используя свойство модуля частного.

4 Полученное неравенство означает, что функция ^{ББФ при}

Доказательство достаточности

^{1. Пусть функция ББФ при Требуется} доказать, что БМФ при Доказательство провести самостоятельно.

Ч.т.д.

Замечание №4. На ББФ свойства конечных пределов, связанные с арифметичес- кими действиями над пределами (например ), непосредственно не перено- сятся. Однако некоторые аналогии имеют место.

Замечание №5. Для любого числа

[8].