Предел сложной функции ( замена переменных для пределов функций)

Теорема. Пусть существуют конечные (или бесконечные) пределы функции и : и . Кроме того, пусть в некоторой проколотой - окрестности точки ( ) определена функция . Тогда в точке существует предел сложной функции и .

Доказательство

1. Из условий теоремы следует, что существуют такие проколотые окрестности и , при и . Функция определена на проколотой - окрестности точки , т.е. и . Функция определена на проколотой - окрестности точки , т.е. и .

2. Так как , то значения функции являются областью определения функции или .

3. Следовательно, значения функции принадлежат - окрестности точки А, т.е. .

4. Последнее утверждение можно записать

5. Возьмем произвольную последовательность значения аргумента , сходящуюся к . Причем, такую последовательность , чтобы при и .

6. Тогда соответствующая последовательность значений функций будет иметь вид: .

7. Так как по условию теоремы , то предел последовательностей значений функции то же будет равен А на основании определения предела функции в точке по Гейне, т.е.

(при ) (или ).

8. Так как предел функции существует и равен и , то в соответствии с определением предела функции в точке по Гейне .

9. Последнюю запись можно представить так:

.

10. Так как для произвольной последовательности значений аргумента , сходящуюся к ( ) существует сходящаяся к соответствующая последовательность значений функции , то по определению предела функции в точке по Гейне функция тоже будет сходиться к при : .

ч.т.д.

Неравенство при r

Лемма. При любом действительном справедливо неравенство .

Доказательство

1. 1. Рассмотрим окружность радиуса с центром в точке .

2. Пусть радиус образует угол с радиусом и угол – острый, т.е. .

2. Опустим из точки перпендикуляр на радиус .

3. Тогда .

4. Проведем радиус симметрично радиусу относительно радиуса .

5. Тогда и поэтому .

6. Известно из курса школьной геометрии, что длина дуги окружности равна , -центральный угол в радианах.

7. Поэтому длина дуги .

8. Очевидно, что длина отрезка не превышает длины дуги , т.е. или или , . Так как - пол. угол, в четверти, то справедливо для .

2. 1. Пусть теперь , т.е. .

2. Умножим на все части неравенства п.1: или .

3. Тогда неравенство примет вид: .

4. Так как угол находится в 4-й четверти, следовательно, он отрицательный, то по определению модуля .

5. Функция нечетная: и в 4-й четверти отрицательный.

Следовательно, записанное неравенство можно заменить на при .

Итого: если обобщить результаты, полученные в I и II, то получим при , т.е. .

III. 1. Если , то , при .

2. Таким образом, для R .

ч.т.д.