Переход к пределам функций в неравенстве
Теорема
№1. Если
и
,
то найдется
такое
число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
Доказательство
1.
Пусть
и
.
Требуется доказать, что
,
что
будет выполняться неравенство
.
2.
Возьмем две непересекающиеся окрестности
,
т.е. такие интервалы
и
,
и
,
.
3.
Возьмем такое число
,
что
выполнялись бы одновременно два
неравенства в соответствии с только
что доказанной леммой
и
.
4. Последние неравенства равносильно таким двум неравенствам:
и
и
.
5. Так
как
,
то видно из рисунка
,
а
,
,
то
.
ч.т.д.
Теорема
№2. Если
и существует такое число
,
что для всех
выполняется неравенство
,
то будет выполняться неравенство
.
Доказательство
1. Пусть и : .
Требуется
доказать, что и
.
2. Доказательство
проведем методом от противного, т.е.
предположим при всех указанных условиях
будет выполняться неравенство
.
3. Согласно
теореме №1, если
и
,
то (
),
(
)
будет выполняться неравенство
.
4. Но по условию теоремы . Полученное противоречие и доказывает, что при всех условиях теоремы.
ч.т.д.
Теорема о пределе сжатой переменной
(о пределе промежуточной функции)
Теорема.
Если
и существует такое число
,
что для всех
имеем
,
тогда
.
(
-
пси, греческая буква)
Доказательство
1. Пусть и ( )( ): . Требуется доказать, что .
2. Так как
,то
согласно определению предела функции
на бесконечности
,
что одновременно будут выполняться два
неравенства
и
.
3. Последние неравенства равносильны двойным неравенствам:
и
.
4. Так как по условию теоремы
,
то если взять такое число
,
то
функция
(x)
тоже будет принадлежать промежутку
.
ч.т.д.
Замечание.
Теорема верна и для случая, когда
.
2 модуль
Тема №3
Функции и их свойства. Операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Предел функции
Лекция №12
1. Предел суммы, произведения и частного функций, имеющих предел в точке.
2. Предел сложной функции.
3.
Неравенство
,
R.
4. Первый замечательный предел и его следствия.
5.
Теорема о необходимом и достаточном
условии существования предела функции
при
.
Предел суммы, произведение и частного функций, имеющих предел в точке
Теорема.
Если существуют конечные пределы
,
то существуют и конечные пределы
;
;
,
причем
они соответственно равны:
=
;
=
;
.
Доказательство
1. Эта теорема доказывается при помощи соответствующих утверждений относительно последовательностей и на основании определения предела функции в точке по Гейне.
2. Пусть
-
произвольная последовательность
значений аргумента для функций
,
и пусть
сходиться к
при
.
3. Соответствующие
последовательности значений функций
будут иметь вид
и
,
будут иметь конечный пределы, так как
по условию теоремы функции
имеют конечные пределы в точке
.
4. В
силу теоремы о пределе суммы, произведения,
частного двух сходящихся последовательностей
и
,
следующие последовательности будут
иметь конечные пределы
=
;
=
;
.
5. Тогда согласно определению предела функции в точке по Гейне существуют и конечные пределы в точке у функций соответственно:
=
;
=
;
ч.т.д.
Следствие
№1. Если
существует предел функции
в точке
,
то для любого действительного числа
R
справедливо равенство
(т.е. const
можно выносить за знак предела).
Следствие №2.
(предел
степени равен степени предела),
N.