Тема №3

Функции и их свойства. Операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Предел функции

Лекция №11

1. Предел функции на бесконечности и его геометрическая интерпретация.

2. Горизонтальная асимптота.

3. Бесконечный предел функции и его геометрическая интерпретация.

4. Вертикальная асимптота.

5. Свойства функции, имеющей предел в точке.

6. Свойства пределов функций.

7. Переход к пределу в неравенствах.

8. Предел сжатой переменной.

Предел функции на бесконечности

(предел функции при )

1. Кроме рассмотренных понятий предела функции в точке при и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности (предела функции на бесконечности).

Определение №8. Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу . .

Определение №9. Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

Определение №10 («на языке »). Число называется пределом функции при , если ( такое число М), что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

В случае определений 8-10 число А называют пределом функции на бесконечности [30].

Геометрическая интерпретация определения предела функции на бесконечности

а) 1. Учитывая, что неравенство: равносильно неравенствам:

, можно дать следующее геометрическое истолкование предела функции на бесконечности .

2. Кривая при неограниченно приближается к прямой , т. е. какое бы мы ни взяли, найдется такое число , что для всех кривая будет находиться между прямыми , т.е. в полосе шириной .

Рис.6.

б) 1. геометрически означает, что кривая при неограниченно приближается к прямой [2].

2. Т. е. какое бы мы ни взяли, найдется такое число М, что для всех кривая будет находиться между .

Рис.7.

Пример 6. Доказать, что функция имеет предел, равный при .

Доказательство

1. Если – произвольная бесконечно большая последовательность зна чений аргумента, то соответствующая последовательность значений функ- ции будет иметь вид: или .

2. В соответствии с теоремой о связи б.б.п. с б.м.п., последовательность значений функции является б.м.п.

3. Так как – б.м.п., то ее предел равен нулю, т.е. .

4. Тогда на основании определения предела функции на беско- нечности , т. е. [30]. Ч.т.д.

Горизонтальные асимптоты

Для вычерчивания графиков функции особенно важное значение представляет собой случай, когда график функции асимптотически (неограниченно) приближается к некоторой прямой, такую прямую называют асимптотой графика функции.

Определение №11. График функции имеет горизонтальную асимптоту при или при , если или .

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: , [3].

Может оказаться, что либо только один из пределов конечный, либо ни одного. Тогда график функции имеет одну горизонтальную асимптоту, или ни одной.

Расстояние от точки Е этого графика функции до прямой стремится к нулю при (рис.8) и (рис.9) [3].

Рис.8. Рис.9.

Бесконечный предел функции

Для функции , определенной (заданной) на некотором множестве ,

можно дать также понятие бесконечного предела в точке или при .

Определение №12. Если для любой последовательности значений аргу- мента , сходящейся к точке , предел соответствующей после- довательности значений функции равен , т. е. , то го- ворят, что функция имеет в точке бесконечный предел .

Определение №13. Функция имеет в точке бесконечный предел, если для любого сколь угодно большого положительного числа Е>0 най- дется такое число , что для всех х из множества Х, отличных от и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут:

Аналогичным образом определяются соотношения :

.

Так равенство означает, что функция удовлетворяет условию из определения №12 и №13. Кроме того, известно, в некоторой окрестности точки функция принимает отрицательные значения (рис.10) [2].

Замечание №5. Если бесконечный предел функции в точке получается при стремлении х к только слева или только спра- ва ( ), то в этом случае имеем дело с односторонними бесконеч- ными пределами функции.

Рис.10.