Уравнение неразрывности, уравнение переноса (уравнения Дарси, Фурье, Ричардса).

Закон баланса в математических моделях представлен в виде так называемого уравнения неразрывности. Рассмотри его вывод на примере движения воды в почве.

Пусть у нас имеется некий цилиндр почвы единичной площади и высотой Δz, в который втекает поток влаги ^вхw q , а вытекает ^выхw q . За счет разницы этих потоков Δq за некоторое время Δt происходит изменение запасов влаги ΔЗВ (рис. II.1.1).

О математизации физических явлений

Почему именно физически обоснованные модели? Именно такого рода модели позволяют просчитать разные сценарии развития явлений и применяются для широкого спектра природных условий. Однако, какова история их появления?

На мой взгляд, развитие математических моделей – это характерный путь научного развития. Показателен в этом отношении известный пример с развитием теории электромагнитной индукции, теории Максвелла. Эта теория появилась в середине XIX века, как математическое описание электромагнитных явлений. Во всех учебниках она выражается в нескольких классических уравнениях. Однако до этих уравнений были великие опыты Фарадея. Фарадей, сын кузнеца, не в полной мере владеющий математической теорией, прошел блестящий путь физика‐экспериментатора. Он заметил, что движущийся магнит вызывает в проводнике электрический ток, положив тем самым физическое обоснование электромагнитным явлениям. Но главное, он создал образ, образ электромагнитного поля. Теперь его воспроизводят в школьных опытах, когда подносят к рассыпанным на бумажке металлическим опилкам магнит, и опилки выстраиваются по определенным линиям. Эти линии Фарадей и назвал силовыми. Вот он физический образ – «силовые линии». Гениальный Максвелл, описывая электромагнитные поля, опять‐таки представлял различные физические образы: в его статьях были и некие «молекулярные вихри», и невесомая несжимаемая жидкость, в которых распространяются электромагнитные волны, но именно фарадеевский образ с силовыми полями помог Максвеллу облечь физические законы электромагнетизма в математические уравнения.

Итак, любой математической модели предшествует некий физический образ. Поэтому в моделях функционирования почв всегда в основе должен лежать физический закон: законы баланса, Дарси, Фурье, Фика и многие другие. В любом случае математическая модель начинается с физики явления.

Отметим отдельно характеристику потока. В балансовом уравнении мы записали зависимость, удельного потока (или поверхностную плотность потока) вещества или энергии (размерность [г/(см2 сут)] или [кал/(см2 сут)]) от градиента движущей силы. В самом общем случае потоком массы (энергии) называют массу, переносимую в единицу времени через заданную поверхность. Размерность будет соответствующая – [г/сут]. Это и будет интегральным потоком. А вот для оценки потока через отдельные элементы поверхности вводится понятие об удельном потоке (поверхностной плотности потока) как о потоке через единицу площади поверхности. Вот эту характеристику потока мы и будем использовать. Нередко, в науках о Природе, говоря о потоке, используют понятие удельного потока. Эта традиция сложилась исторически. В дальнейшем мы тоже будем использовать понятие удельного потока, имеющего для удельного потока массы размерность [г/(см2 сут)], а для энергии [кал/(см2 сут)].

В итоге мы имеем два фундаментальных закона – закон баланса и закон переноса, которые нередко называют феноменологическими (от греч. phainomenon – данный нам в чувственном ощущении). Вся история развития человечества и науки о Природе не отрицают этих законов, их применимость вне сомнений. Используем эти два закона для описания движения влаги в насыщенной и не насыщенной влагой почве (во всем диапазоне влажности).

Основное уравнение влагопереноса – уравнение Ричардса

Остановимся на описании движения влаги в почве. Движение воды – это основа для понимания всех других динамических процессов в почвах. С водой движутся ионы, микроорганизмы, органические вещества, коллоиды и пр. Поэтому во всех моделях водный блок – основной, его описание и устройство один из самых важных разделов моделирования.

Известно, что движение воды в почве описывается законом Дарси. Для насыщенной влагой почвы этот закон записывается как:

где qw – поток влаги в почве (размерность: см водного слоя/сут), Кф – коэффициент фильтрации, а отношение

называется гидравлическим градиентом, т.е. отношением гидравлического напора, перепада высот Δh к длине колонки l. Фактически гидравлический градиент – это потеря напора воды на единицу длины фильтрующей колонки. Гидравлический градиент величина безразмерная, а Кф и qw имеют одинаковые размерности.

Но фильтрация – это процесс движения влаги в насыщенной влагой почве. Для того чтобы описать движение влаги в ненасыщенной почве было предложено понятие давления влаги. Эта величина характеризует степень связи воды с почвенной матрицей.

Вода в почве подвержена действию сил различной природы, которые понижают её энергию по сравнению со свободной чистой водой. Это капиллярные и сорбционные (капиллярно‐сорбционные), осмотические и гравитационные силы. И чем они больше, тем ниже давление влаги в почве. А вода всегда течет от большего давления влаги к меньшему, т.е. под действием суммарного градиента указанных давлений влаги – капиллярно‐сорбционного, осмотического и гравитационного. В незасоленных почвах перепад осмотического давления не учитывают, так как различия в концентрации растворенных веществ (осмотическое давление) в почве довольно быстро исчезает за счет процессов диффузии ионов. Поэтому считается, что в почве в переносе влаги участвуют капиллярно‐сорбционное (Рк‐с) и гравитационное (Ргр) давление. Итак, в не насыщенных влагой почвах (а это состояние встречается в почвах наиболее часто) необходимо использовать не само уравнение Дарси, а «модифицированное уравнение Дарси», в котором вместо перепада гравитационного давления используют градиенты капиллярно‐сорбционного и гравитационного давления влаги, а вместо коэффициента фильтрации используют функцию влагопроводности (ненасыщенная гидравлическая проводимость). Коэффициент влагопроводности, хотя и имеет ту же размерность, что и коэффициент фильтрации [см/сут, м/сут, мм/мин и пр.] и характеризует способность почвы проводить поток влаги, не является величиной постоянной, и зависит от давления влаги (или влажности). Эта нелинейная зависимость и носит название функции влагопроводности.

Функция влагопроводности – зависимость коэффициента влагопроводности (ненасыщенной гидравлической проводимости, Квл) от капиллярно‐сорбционного (Рк‐с) давления почвенной влаги или от влажности почвы (θ): вл ( к‐с , ) К = f P θ . Нередко обозначают его Квл (Рк‐с) или Квл(θ).

Вид графика функции влагопроводности весьма характерен (рис. II.1.2): способность почвы проводить поток влаги при уменьшении давления уменьшается на несколько порядков. Так, при уменьшении давления от 0 до –150 (–600) см водного столба в суглинистых почвах коэффициент влагопроводности суглинистой почвы уменьшается на 1–2 порядка, от 500–10000 см водн.ст. – на 2–4 порядка по сравнению с коэффициентом фильтрации (влагопроводность почвы при полном насыщении). Это совершенно определенно указывает, что сухая почва будет проводить воду значительно хуже, чем влажная.

Для нас очень важно, что функция эта нелинейная, резко уменьшающаяся при падении давления влаги в почве. Кроме того, учитывают, что перепад гравитационного давления ( гр ∂P ) на расстоянии z равен этому расстоянию. Поэтому при выражении гравитационного давления в тех же единицах, что расстояние, градиент гравитационного давления равен единице, т.е

Но поскольку за положительное направление движения влаги выбрано движение вверх, к поверхности почвы, то при движении влаги вниз, которое вызывает гравитационное давление, . И в этом случае модифицированное уравнение Дарси можно записать:

Учитывая, что поток влаги есть изменение объемной влажности ∂θ за период времени ∂t, в случае одномерного вертикального потока это уравнение записывают либо в векторном виде, либо в обычной форме

Кроме того, для переноса в вертикальном направлении, когда градиент гравитационного давления равен 1 (уточним – при одинаковых единицах измерения расстояния и давления), можно записать:

Нетрудно заметить, что в этом уравнении две переменные – влажность ( θ ) и давление влаги (Рк‐с). Решения его даже специальными методами невозможно. Надо привести уравнение к одной переменной. Для этого вводят понятие дифференциальной влагоемкости . Эту величину используют, экспериментально или другими способами получая основную гидрофизическую характеристику ОГХ («кривая водоудерживания», «water retention curve») – зависимость объемной влажности почв от капиллярно‐сорбционного давления. Вследствие важности ОГХ, известные российские физики почв Александр Миронович Глобус и Анатолий Данилович Воронин, назвали эту зависимость «основной гидрофизической».

В результате подстановки в уравнение влагопереноса дифференциальной влагоемкости, мы получаем запись основного уравнения движения влаги, которое и носит название уравнения Ричардса. Для ненасыщенной почвы уравнение Ричардса можно записать с использованием дифференциальной влагоемкости:

где ±I(z,t) – это член «источник/сток», т.е. либо добавочное появление воды в рассматриваемом слое, либо, напротив (со знаком минус) её исчезновение. Обычно, добавочное появление влаги в почвенном слое не рассматривается, т.к. физически это не очень существенный процесс при одномерном рассмотрении, связанный, например, с конденсацией влаги. А вот исчезновение влаги (–I) вполне весомый процесс, связанный с потреблением влаги корнями растений и её расходом на транспирацию. Этому процессу будет посвящен отдельный раздел.

Итак, уравнение Ричардса – это центральное, самое важное уравнение передвижения влаги, веществ и энергии в почвах.

Важно также отметить, что это уравнение было получено на основе балансового уравнения (уравнения неразрывности) и уравнения переноса (модифицированное уравнение Дарси), т.е. на основе фундаментальных физических законов.