Математическое моделирование в почвоведении Математизация науки

Характерной чертой современной науки является математизация. В последние десятилетия отмечается широкое распространение и проникновение математики не только в естественные, но и гуманитарные науки. Слово «математика» древнегреческое, означающее «точное знание». В античном мире математическое знание рассматривали, как идеал научного знания. В дальнейшем понимание роли математики было сохранено и преумножено. По мнению Леонардо да Винчи, «Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства». Позднее в 1605 году Фрэнсис Бэкон писал: «В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на практике без помощи вмешательства математики». Галилей в хорошо известном сочинении «Пробирных дел мастер» (1623) писал: «Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами,— я разумею Вселенную, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики». В XIX веке Фурье в классической работе «Аналитическая теория тепла» (1822) обсуждал достоинства математического подхода: «Главная отличительная особенность математического подхода — его ясность; в нем нет символов, которые выражали бы смутные идеи. Он сводит вместе самые различные явления и обнаруживает объединяющие их скрытые аналогии. Даже если материя ускользает от нас, подобно воздуху и свету, по причине своей крайней тонкости, даже если мы хотим понять, как выглядят небеса на протяжении последовательных периодов, разделяемых многими столетиями, даже если сила тяжести и тепло действуют внутри земного шара на глубинах, которые навсегда останутся недоступными, математический анализ позволяет постичь законы всех этих явлений. Он делает их как бы видимыми и измеримыми и, должно быть, является способностью человеческого разума, призванной возместить кратковременность жизни и несовершенство наших чувств. Но еще более замечательно, что при изучении всех явлений математический анализ следует одному и тому же методу: он переводит все эти явления на один и тот же язык, как бы подчеркивая единство и простоту структуры окружающего нас мира и делая еще более заметным незыблемый порядок, правящий в природе всей материей».

В ХХ веке Вигнер в книге «Этюды о симметрии» (1971) опубликовал свой доклад: «Непостижимая эффективность математики в естественных науках», где приводится утверждение, что между математическими понятиями подчас возникают совершенно неожиданные связи и именно эти связи позволяют нам удивительно точно и адекватно описывать различные явления природы. Разные науки различаются по уровню математизации. Наиболее математизированной наукой является физика. Физика и математика настолько переплелись, что даже возник вопрос, поставленный в статье академика В.И. Арнольда (1999): «Математика и физика: родитель и дитя или сестры?». По мнению Н.Н. Моисеева принципиально не математических дисциплин вообще не существует. Другое дело – степень математизации и этап эволюции научной дисциплины, на котором математизация становится необходимой. Он писал: «Этап математизации дисциплины начинается тогда, когда ей не хватает того естественного языка, с которого начиналось ее становление, когда возможности этого языка для прогресса науки оказались исчерпанными. Физика перешагнула этот рубеж в эпоху Ньютона: нельзя изложить классическую механику, не прибегая к языку математических моделей. Но введение нового языка всегда требует генеральной перестройки дисциплины. Появляются не существовавшие ранее разделы, меняется значение эксперимента, его направленность и т. д. С новым языком возникают и новые критерии, происходит переоценка ценностей. Иными словами, идет естественное расширение языка научной дисциплины за счет включения в него элементов языка формализованного описания. Процесс этот весьма длительный и по существу бесконечный, ибо расширение языка содержательной научной дисциплины приводит к расширению самой математики, ее собственного языка, возможностей (которые немедленно начинают служить другим наукам), к совершенствованию ее методов. Так возникает непрерывно действующая обратная связь» (Моисеев, 1981). Степень математизации науки можно характеризовать по тому, какие математические модели она использует и насколько широко.

К вопросу о…

Зачем изучать математику?

Ответ на этот вопрос получен много веков назад. В середине XIII века английский философ Роджер Бэкон утверждал: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». Может быть, со временем что‐нибудь изменилось? Как отвечают на этот вопрос современники? Познакомимся с мнением известного математика Владимира Игоревича Арнольда. Сборник его избранных трудов включает не только математические работы, но и публицистические статьи на актуальные для развития математики темы, а также воспоминания об А.Н. Колмогорове и Я.Б. Зельдович (Арнольд, 1997). В статье «Для чего мы изучаем математику? Что об этом думают сами математики?» он приводит замечательные примеры продуктивности метода математического моделирования в естествознании, хотя математические модели не всегда дают немедленную практическую отдачу. Сошлемся только на один из них. В Древней Греции были открыты канонические сечения и описаны Аполлонием Пергским, а понадобилась эта теория при выводе законов движения планет Иоганну Кеплеру в XVI. Кеплер открыл закон движения планет, но факт их движения по эллипсам доказал Исаак Ньютон в книге «Математические начала натуральной философии» (1687). Он получил эллиптичность планетарных траекторий, как следствие закона всемирного тяготения. В наше время свойства конических сечений используют при проектировании запусков искусственных спутников. Трудно объяснить, почему модель сечения конуса описывает движения планет. Почему она оказалась столь эффективной для приложений остается загадкой. Удивительная универсальность математических моделей поражает и восхищает. Если бы теория канонических сечений не была в свое время разработана математиками, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты и история нашей цивилизации, вероятно, была бы иной. Хотя Апполоний Пергский, изучая конические сечения, думал лишь о красоте математической модели. Обсуждая проблемы математического образования, В.И. Арнольд указывает на недостатки, обусловленные излишней формализацией и компьтеризацией преподавания математики, так как увлечение компьютерами не способствуют развитию мышления. Он предостерегает об опасности следования принципу изучения только того, что нужно для практики, исходя из сегодняшних потребностей, без учета перспективных целей развития общества и приводит убедительные примеры, показывающие, что «нет ничего практичней хорошей теории». В воспоминаниях об одном из крупнейших физиков ХХ века Якове Борисовиче Зельдовиче В.И. Арнольд пишет, что: «Математика понятий и идей, а вовсе не одних только вычислений была его стихией. …Я.Б. Зельдович любил выделить в физической проблеме точно сформулированный математический вопрос. Он верил, что стоит точно сформулировать задачу математически – и математики, «которые умеют, как мухи, ходить по потолку», найдут решение!». Для того, чтобы успешно использовать математическое моделирование для решения задач почвоведения и экологии, очень важно научиться их математически формулировать.