Пример выполнения работы

Требуется дать рекомендации сельскохозяйственной организации по выращиванию картофеля в зависимости от почвенного состава полей и погодных условий для достижения максимальной урожайности.

Исходная информация

1. Имеются 3 поля с различным почвенным плодородием А₁, А₂, А₃

2. Погодные условия характеризуются тремя состояниями: П₁ — не­благоприятные; П₂—средние; П₃ — благоприятные.

3. Вероятность появления погодных условий составит: = 0,45; = 0,35; = 0,20.

4. Средняя урожайность картофеля приведена в таблице 7.

Таблица 7. Зависимость урожайности картофеля от погодных условий и качества почв, ц/га

Поля с разным почвенным плодородием	Погодные условия
	П1	П2	П3
А1	190	200	220
А1	170	180	240
А3	150	210	250

Решение

а) при выборе оптимальной стратегии игрока А воспользуемся критерием Байеса. В качестве оптимальной по нему принимается такая чистая стратегия А_i, которая обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш:

,

где — средний выигрыш игрока А при применении стратегии i; а_ij — выигрыш игрока А при применении им стратегии i в условиях реализации природы стратегии j; q_j — вероятности, с которыми природа реализует состояния П_j.

Для нашего случая рассчитаем средний выигрыш игрока А для каждой его стратегии:

1. 190 ּ 0,45 + 200 ּ 0,35 + 220 ּ 0,2 = 199,5 ц/га;

2. 170 ּ 0,45 + 180 ּ 0,35 + 240 ּ 0,2 = 187,5 ц/га;

3. 150 ּ 0,45+ 210 ּ 0,35+ 250 ּ 0,2= 191,0 ц/га;

mах (199,5; 187,5; 191,0) = 199,5 ц/га.

Видно, что наибольшую урожайность картофеля сельскохозяйственная организация получит при возделывании культуры на первом поле (чистая стратегия А₁, т. е. по критерию Байеса оптимальной будет первая стратегия игрока А;

б) если игроку А представляются в равной мере правдоподобными все состояния природы П_j, т. е. q₁ = q₂ = ... = q_n, то для определения его оптимальной стратегии используют критерий Лапласа:

Допустим, в нашем примере природа использует стратегии с одинаковыми вероятностями, тогда обоснуем оптимальную стратегию игрока А:

1. (190 + 200 + 220): 3 = 203,3 ц/га;

2. (170 + 180 + 240): 3 = 196,7 ц/га;

3. (150 + 210 + 250): 3 = 203,3 ц/га;

mах (203,3; 196,7; 203,3) = 203,3 ц/га.

По критерию Лапласа оптимальны первая и третья стратегии игрока А, т. е. для получения максимально возможной при данных условиях урожайности картофеля сельхозорганизация должна его возделывать на первом или третьем поле;

в) если вероятности q_j состояний природы П_j неизвестны, то для нахождения оптимальной стратегии игрока А используют критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

По критерию Вальда в качестве оптимальной рекомендуется выбирать ту стратегию, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш: .

В нашем случае сельхозорганизация гарантированно получит следующие урожайности картофеля при любых реализациях природы своих стратегий:

1) min(190;200;220) = 190 ц/га;

2) min(170; 180; 240) = 170 ц/га;

4. min(150;210;250) = 150 ц/га; mах (190; 170; 150)= 190 ц/га.

Наибольшую урожайность в любых природных условиях обеспечи­вает игроку первая стратегия;

г) критерии Сэвиджа и Вальда являются критериями крайнего пессимизма.

В соответствии с критерием Сэвиджа оптимальной будет стратегия, в наихудших условиях обеспечивающая наименьшую величину риска. Для обоснования оптимальной стратегии игрока А по нему необходимо:

• построить матрицу риска (определить значение коэффициентов риска r_ij):

,

где i — номер строки; j — номер столбца; а_ij — элемент матрицы a, стоящий в i-й строке j-го столбца; mах а_ij — максимальный элемент а_ij в каждом столбце;

• определить максимальное значение коэффициентов риска по каждой строке, т.е. ;

• найти минимальное значение коэффициентов риска по столбцу, полученному выше, т. е. .

В результате определим стратегию предприятия, характеризующуюся наименьшим максимальным риском:

.

Рассчитаем матрицу риска для нашего примера.

В первом столбце mаха_ij = 190, следовательно, r₁₁ = 190 - 190 = 0; r₂₁ = 190 - 170 = 20; r₃₁ = 190 - 150 = 40. Аналогично рассчитываем коэффициенты риска по другим столбцам. Матрица риска приведена в таблице 8.

Таблица 8. Матрица риска

Поля с разным почвенным плодородием	Погодные условия
	П1	П2	П3
А1	0	10	30
А1	20	30	10
А3	40	0	0

По каждой строке определяем максимальное значение коэффициента риска:

1. mах (0; 10; 30) = 30;

2. mах (20; 30; 10) = 30;

3. mах(40;0;0) = 40.

Выбираем стратегию, характеризующуюся минимальным риском:

min(30; 30; 40) = 30,

т. е. оптимальными стратегиями игрока А согласно критерию Сэвиджа являются первая и вторая стратегии;

д) критерий Гурвица называется критерием обобщенного максимума или пессимизма — оптимизма. Оптимальная стратегия игрока А согласно этому критерию выбирается по формуле

,

где 0 1.

Коэффициент выбирается на основании субъективных соображений (опыта, здравого смысла, оценок экспертов и т. д.). Если = 1, критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма, если = 0 — в критерий крайнего оптимизма.

Определим оптимальную стратегию игрока А по критерию Гурвица при = 1:

1) 1 ּ 190+ (1-1) ּ 220= 190 ц/га;

2) 1 ּ 170+ (1-1) ּ 240= 170 ц/га;

3) 1 ּ 150+ (1-1) ּ 250= 150 ц/га; mах (190; 170; 150)= 190 ц/га,

т. е. по критерию крайнего пессимизма сельхозорганизация для гарантированного получения максимальной урожайности картофеля должна использовать чистую стратегию А₁.

Выберем оптимальную стратегию игрока А при = 0:

1) 0 ּ 190 + (1-0) ּ 220 = 220 ц/га;

2) 0 ּ 170+ (1-0) ּ 240 = 240 ц/га;

3) 0 ּ 150 + (1-0) ּ 250 = 250 ц/га; mах (220; 240; 250) = 250 ц/га,

т.е. для получения максимального результата по критерию крайнего оптимизма игрок А должен применять третью стратегию.

Если же = 0,5, то:

1. 0,5 ּ 190 + (1 - 0,5) ּ 220 = 205 ц/га;

2. 0,5 ּ 170 + (1 - 0,5) ּ 240 = 205 ц/га;

3. 0,5 ּ 150 + (1 - 0,5) ּ 250 = 200 ц/га; mах (205; 205; 200) = 205 ц/га.

Игрок А для получения максимальной урожайности может возделывать картофель и на первом, и на втором поле.

Анализ игры, проведенный по нескольким критериям одновременно, позволил глубже исследовать проблему и выбрать наиболее обоснованное решение. В нашем примере для получения максимального выигрыша при любых действиях игрока П игрок А должен пользоваться первой стратегией, т. е. максимальную урожайность картофеля сельскохозяйственная организация получит, если будет возделывать его на первом поле.