2.1 Современная величина годовой ренты с начислением % 1 раз в год:
a = 1 - (1+i) (- n)
i
Годовая рента: А = R * а
2.2 Годовая рента с начислением % m раз в году:
A = R * 1-(1+j / m) (-m*n)
(1+ j / m) m) – 1
2.3 Современная величина р-срочной ренты при начислении % 1 раз в году (m=1):
а = ___1-(1+i) (-n)
p * ((1+i) 1 / p) - 1
Годовая рента тогда равна: A = R * a
2.4 Современная величина с начислением % m раз в году, если число рентных платежей в течение года не равно числу периодов начисления % (p ≠ m):
а = ___1 – (1+ j / m) (- m*n) ___
p * ((1 + j / m) m / p – 1)
Годовая рента равна: A = R * a
Рента пренумерандо
Рента, когда платежи производятся в начале каждого периода. Отличие от выше перечисленных рент постнумерандо сводится к числу периодов начисления %.
Наращенная сумма ренты пренумерандо с начислением % 1 раз в год:
S' = S * (1 + i), где S - наращенная сумма постнумерандо, т.е. сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты пренумерандо в (1+ i) раз.
Наращенная сумма ренты пренумерандо с начислением % m раз и непрерывно:
S' = S * (1 + j / m) m
Наращенная сумма р-срочной ренты:
S' = S * (1 + i) 1 / p
S' = S * (1 + j / m) m/ p
Современная величина рент пренумерандо:
А' = А * (1 + i), А' = А * (1 + j / m) m и т.д.
Смотри вопрос 5.
7. Использование методов наращения капитала в расчетах состояния банковских вкладов.
Договор банковского вклада (депозита) - договор, в силу которого одна сторона (банк), принявшая поступившую от другой стороны (вкладчика) или поступившую для нее денежную сумму (вклад), обязуется возвратить сумму вклада и выплатить проценты на нее на условиях и в порядке, предусмотренных договором.
Классификация вкладов:
1. Депозиты
1.1. Депозиты до востребования (обязательства, не имеющие конкретного срока)
1.2. Срочные вклады (обязательства, имеющие определенный срок)
1.2.1. Вклады, зарезервированные на установленный срок
1.2.2. Вклады с обязательным предварительным уведомлением о снятии средств
2. Сберегательные вклады
Под наращением понимают процесс увеличения первоначальной суммы в результате начисления процентов (от настоящего к будущему).
Экономический смысл метода наращения состоит в определении величины, которая будет или может быть получена из некоторой первоначальной (текущей) суммы в результате проведения операции. Другими словами, метод наращения позволяет определить будущую величину (S) текущей суммы (P) через некоторый промежуток времени, исходя из заданной процентной ставки i.
Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка, или, что то же, ссудный процент, представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
В зависимости от условий проведения финансовых операций наращение может осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.
Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки.
В общем случае, наращение по ставке простых процентов осуществляют по следующей формуле:
S = P (1+ n* i),
n = t / K
где n - продолжительность периода начисления в годах;
t - число дней ссуды;
K - число дней в году;
i - ставка процентов.
Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях, со сроком проведения более одного года. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки, либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т.д.). При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.
S = P (1 + ic)n ,
где ic - относительная величина годовой ставки сложных процентов.
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталами и т.д. В том случае оговаривается номинальная ставка процентов j - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
Итак, пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году - m. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Тогда формулу наращения теперь можно представить следующим образом:
S = P(1 + j/m)N,
где N - общее количество периодов начисления.
Если N целое число (N=mn), то в большинстве случаев для определения величины множителя наращения можно воспользоваться таблицей сложных процентов.
Нетрудно догадаться, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс).
Непрерывные проценты представляют главным образом теоретический интерес и редко используются на практике. Они применяются в особых случаях, когда вычисления необходимо производить за бесконечно малые промежутки времени. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании. С помощью непрерывных процентов удается учесть сложные закономерности процесса наращения, например, использовать изменяющиеся по определенному закону процентные ставки.
Методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом анализе, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей (cash flows).
Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения:
- для срока меньше года простые проценты больше сложных:
(1 + ni) > (1 + ic)n
- для срока больше года сложные проценты больше простых:
(1 + ic)n > (1 + ni)
- для срока, равного году, множители наращения равны друг другу.
Заметим также, что при n > 1 с увеличением срока различие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается.
